added algo1 assignments 2-3 and 5-8

algo1/assignment5/main.tex

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+\documentclass[a4paper]{article}
+%\usepackage[singlespacing]{setspace}
+\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
+%\usepackage[doublespacing]{setspace}
+\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
+\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{colortbl}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{float}
+\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
+\usepackage{tikz-qtree}
+\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
+\pagestyle{fancy}
+\usepackage{array}
+
+\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
+
+\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
+
+\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
+
+\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
+\lstset{
+	basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
+}
+
+\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
+
+
+\geometry{
+	paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
+	top=2.5cm, % Top margin
+	bottom=3cm, % Bottom margin
+	left=2.5cm, % Left margin
+	right=2.5cm, % Right margin
+	headheight=25pt, % Header height
+	footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
+	headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
+	%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
+}
+\lhead{ALGO-1\\Sommersemester 2024}
+\chead{\bfseries{Übungsblatt 5}\\}
+\rhead{7987847\\Jonas Werner}
+
+\begin{document}
+
+\section*{Aufgabe 5.1}
+Bestimmen Sie für jeden leeren Eintrag aus der folgenden Tabelle das richtige Verhältnis zwischen
+$f$ und $g$. Eine Begründung ist nicht nötig.\\
+
+\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c |}
+  \hline
+   & $g(n) = 3n$ & $g(n) = n \sqrt{n}$ & $g(n) = 1$ & $g(n) = log^2(n)$ & $g(n) = \binom{n}{2}$ \\
+  \hline
+  $f(n) = n^2$ & $g = o(f)$ & $g = o(f)$ & $g = o(f)$ & $g = o(f)$ & $g = \theta(f)$ \\
+  \hline
+  $f(n) = \sqrt{n}$ & $f = o(g)$ & $f = o(g)$ & $g = o(f)$ & $g = o(f)$ & $f = o(g)$ \\
+  \hline
+  $f(n) = log(log(n))$ & $f = o(g)$ & $f = o(g)$ & $g = o(f)$ & $f = o(g)$ & $f = o(g)$ \\
+  \hline
+\end{tabular}
+
+\section*{Aufgabe 5.2}
+\subsection*{a)}
+\[ T(n) = T\left(\frac{n}{3}\right) + n\]
+
+Daraus lassen sich folgende Werte ablesen:
+\begin{itemize}
+    \item $a = 1$
+    \item $b = 3$
+    \item $t(n) = n $
+    \item $k = 1$
+\end{itemize}
+
+Damit berechnen wir:
+\[ \log_b a = \log_3 1 = 0 < k = 1 \]
+
+Daraus folgt:
+\[
+\Rightarrow \text{Es tritt Fall (c) ein.}
+\]
+
+Somit gilt die folgende Gleichung:
+\[ T(n) = \theta\left(t(n)\right) = \theta\left(n\right)\]
+
+\break
+
+\subsection*{b)}
+\[ T(n) = 2 \cdot T\left(\frac{n}{4}\right) + 2 \cdot \sqrt{n} + log^3n \]
+
+Daraus lassen sich folgende Werte ablesen:
+\begin{itemize}
+    \item $a = 2$
+    \item $b = 4$
+    \item $t(n) = 2 \cdot \sqrt{n} + \log^3 n$
+    \item $k = \frac{1}{2}$
+\end{itemize}
+
+Damit berechnen wir:
+\[ \log_b a = \log_4 2 = \frac{1}{2} = k \]
+
+Daraus folgt:
+\[
+\Rightarrow \text{Es tritt Fall (b) ein.}
+\]
+
+Somit gilt die folgende Gleichung:
+\[ T(n) = \theta\left(n^{log_b a} \cdot \log n\right) = \theta\left(n^{log_4 2} \cdot \log n\right) = \theta\left(\sqrt{n} \cdot \log n\right)\]
+
+
+
+\subsection*{c)}
+\[ T(n) = 10 \cdot T\left(\frac{n}{3}\right) + n^2\log_2n \]
+
+Daraus lassen sich folgende Werte ablesen:
+\begin{itemize}
+    \item $a = 10$
+    \item $b = 3$
+    \item $t(n) = n^2\log_2n$
+    \item $1 < k < 2$
+\end{itemize}
+
+Damit berechnen wir:
+\[ \log_b a = \log_3 10 \approx 2.1 > k \]
+
+Daraus folgt:
+\[
+\Rightarrow \text{Es tritt Fall (a) ein.}
+\]
+
+Somit gilt die folgende Gleichung:
+\[ T(n) = \theta\left(n^{\log_{b}a}\right) = \theta\left(n^{\log_{3}10}\right)\]
+
+\break
+
+\section*{Aufgabe 5.3}
+Gegeben ist eine Datenstruktur für einfach verkettete Listen, wobei die Listenelemente ein Feld $next$
+mit dem Zeiger auf das nächste Element und ein Feld $data$ mit dem Schlüssel haben. Die Elemente der
+Liste sind absteigend nach $data$ sortiert. Beschreiben Sie für jede der folgenden Aufgabenstellungen
+einen möglichst effizienten Algorithmus in Pseudocode und analysieren Sie die Worst-Case Laufzeit:
+
+\subsection*{a)}
+Entferne Elemente mit gleichem Schlüssel, so dass in der resultierenden Liste jeder Schlüssel
+nur einmal vorkommt.
+
+Die Node Klasse ist wie folgt definiert:
+\begin{verbatim}
+    class Node {
+        data: int
+        next: Node
+    }
+\end{verbatim}
+
+
+\begin{verbatim}
+    function removeDuplicates(head) {
+
+        if head == null {
+            return null
+        }
+
+        current = head
+
+        while current != null and current.next != null {
+            if current.data == current.next.data {
+                current.next = current.next.next
+            } else {
+                current = current.next
+            }
+        }
+    
+        return head
+    }
+\end{verbatim}
+Die worstcase Laufzeit beträgt $\mathcal{O}(n)$ mit $n$ der Anzahl an Elementen.
+
+\break
+
+\subsection*{b)}
+Invertiere die Liste, sodass die Elemente aufsteigend nach $data$ sortiert sind. Dazu steht zu-
+sätzlich nur konstant viel Speicherplatz zur Verfügung.
+
+\begin{verbatim}
+    function reverseList(head) {
+        prev = null
+        
+        current = head
+        
+        while current != null {
+            next = current.next
+            current.next = prev
+            prev = current
+            current = next
+        }
+        
+        return prev
+    }
+\end{verbatim}
+
+\subsection*{c)}
+ngenommen wir erweitern die Listenelemente um das Feld $rang$. Dieses Feld soll die Anzahl
+der Elemente in der Liste mit größerem Schlüssel angeben. Berechne für jedes Element den
+richtigen Eintrag für $rang$.
+
+\begin{verbatim}
+    function calculateRank(head) {
+        if head == null {
+            return null
+        }
+    
+        current = head
+        rank = 0
+        while current != null {
+            current.rang = rank
+            rank += 1
+            current = current.next
+        }
+        
+        return head
+    }
+\end{verbatim}
+
+\break
+
+\section*{Aufgabe 5.4}
+Wir betrachten den rechts dargestellten Baum $B$.
+\subsection*{a)}
+Geben Sie $B$ als Eltern-Array an.\\
+
+\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c |}
+    \hline
+    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\
+    \hline
+    0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 5 & 6 & 6 & 6 & 1 & 10 & 10 & 12 & 12 \\
+    \hline
+\end{tabular}
+
+\subsection*{b)}
+Welche Tiefe hat $B$? Welche Tiefe hat der Knoten 12?
+
+\begin{itemize}
+    \item Tiefe $B$: 3
+    \item Tiefe Knoten 12: 2
+\end{itemize}
+
+Für einen anderen Baum $B'$ ergeben sich folgende Traversierungen:\\
+InOrder($B'$) = 1, 9, 2, 8, 3, 4, 7, 5, 6\\
+PostOrder($B'$) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
+
+\subsection*{c)}
+Geben Sie B' an.\\
+
+\begin{tikzpicture}[level distance=1.5cm, sibling distance=2.5cm,
+  every node/.style={circle, draw, minimum size=0.7cm, inner sep=0}]
+  
+  \node {9}
+    child {node {1}}
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+      child {node {2}}
+      child {node {7}
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+          child[missing] {}
+        }
+      }
+    };
+\end{tikzpicture}
+
+
+\end{document}