\documentclass[a4paper]{article} %\usepackage[singlespacing]{setspace} \usepackage[onehalfspacing]{setspace} %\usepackage[doublespacing]{setspace} \usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins \usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages \usepackage{tabularx} \usepackage{colortbl} \usepackage{listings} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \usepackage{enumerate} \usepackage{enumitem} \usepackage{subcaption} \usepackage{float} \usepackage[table,xcdraw]{xcolor} \usepackage{tikz-qtree} \usepackage{forest} \usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht \renewcommand{\headrule}{ \makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}} } \usepackage{amsmath} \pagestyle{fancy} \usepackage{diagbox} \usepackage{xfrac} \usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations \usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms \usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments \usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting \lstset{ basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font } \usepackage[ddmmyyyy]{datetime} \geometry{ paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size top=3cm, % Top margin bottom=3cm, % Bottom margin left=2.5cm, % Left margin right=2.5cm, % Right margin headheight=25pt, % Header height footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header %showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page } \lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025} \chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 1}} \rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847} \fancyheadoffset[R]{0cm} \begin{document} \setcounter{section}{1} \subsection{Schriftliche Aufgabe} Zeigen Sie, dass die Zahl $\sqrt[k]{2}$ für alle natürlichen Zahlen $k \geq 2$ irrational ist.\\\\ Wir definieren: \(\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\)\\ Wir wissen: \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\) und \(a^{m^n}=a^{m\cdot n}\)\\ Generelles Konzept: \(\sqrt[k]{2}=2^\frac{1}{k}\)\\ \hspace*{3,56cm}\(k=2: 2^\frac{1}{2} \in \mathbb{I}\)\\ \hspace*{3,56cm}\(k=3: 2^\frac{1}{3}=2^\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^\frac{1}{6}}=2^\frac{1}{2}\cdot 2^6\)\\\\ \textcolor{gray}{$2^\frac{1}{2} \in \mathbb{I}$ (irrational) \& $2^6 \in \mathbb{R}$ (rational) $\Rightarrow \mathbb{I} \cdot \mathbb{R}=\mathbb{I}$ (mit einem Ausnahmefall)}\\\\ Daher gilt allgemein:\\ $\sqrt[k]{2} = 2^\frac{1}{2} \cdot i \quad, i \in \mathbb{R}\quad$ Ob $i$ in diesem Fall rational oder irrational ist, ist egal, weil $\mathbb{I} \cdot \mathbb{R} = \mathbb{I}$\\\\ Folgender Randfall muss jedoch betrachtet werden:\\ Für denn Fall, dass $i = 2^\frac{1}{2}$ gilt, wäre dann $2^\frac{1}{2} \cdot 2^\frac{1}{2} = (2^\frac{1}{2})^2 = 2 \notin \mathbb{I}$\\ Hier wird aber sichtbar, dass dieser Fall für $n \geq 2$ nicht eintreten kann:\\ $2^1 \overset{!}{=} \sqrt[k]{2} \quad \Rightarrow k = 1$\\ Dieser Fall kann somit nicht erreicht werden. \qed \bigskip \subsection{Votieraufgabe} Zeigen Sie die folgenden Aussagen mit natürlicher Induktion.\\ \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2} \quad \forall n \in \mathbb{N}$\\\\ \textbf{Induktionsanfang:} $n=1$: $\sum\limits^1_{k=1}k=1$ und $\frac{1(1+1)}{2}=1$. \checkmark\\ \textbf{Induktionsschritt:} $n \mapsto n+1$: \begin{itemize} \item Wir gehen davon aus, dass $\sum\limits^n_{k=1}=\frac{n(n+1)}{2}$ gilt. \item \(\sum\limits^{n+1}_{k=1}k=\sum\limits^n_{k=1}k+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n^2+n+2n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\) und das war zu zeigen. \checkmark \end{itemize} \end{enumerate} (b) Den binomischen Lehrsatz: \[ (x + y)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k} \quad \forall x,y \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \] Induktionsanfang ($n = 1$):\\ \[ (a + b)^0 = 1 \quad\text{und}\quad \sum_{k=0}^{0} \binom{0}{k} a^{0-k} b^k = \binom{0}{0} a^0 b^0 = 1 \] Induktionsvorraussetzung:\\ \[ (x + y)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k} \quad \forall x,y \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \] Induktionsschritt ($n \Rightarrow n + 1$):\\ \[ (x + y)^{n + 1} = \sum\limits_{k=0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} x^ky^{n + 1 -k} \] \[ (x+y)^n (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} x^ky^{n + 1 -k} \] \[ \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} x^ky^{n + 1 -k} \] \[ \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n + 1}{k} x^ky^{n + 1 -k} \] \[ \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \left( \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \right) x^k y^{n+1-k} \] \[ \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k} x^k y^{n+1-k} + \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1} x^k y^{n+1-k} \] Zwischenschritt: \[ \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1} x^k y^{n+1-k} = \sum\limits_{k'=-1}^{n} \binom{n}{k'} x^{k'+1} y^{n-k'} \] \[ \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k+1} y^{n-k} \] \[ \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n+1-k} + \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k+1} y^{n-k} \] \[ \left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = (x+y) \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \] \[ 1 = 1 \] \qed \bigskip \subsection{Multiple Choice} Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreffende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen\\ +0.5 Punkte, falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.\\\\ (a) \(\sum\limits^n_{k=0}\binom{n}{k}=2^n\quad \forall n \in \mathbb{N}\).\\\\ wahr $\quad \boxtimes\quad\quad$ falsch $\quad \square$\\\\ (b) \(\sum\limits^n_{k=0} (-1)^k\binom{n}{k} = 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}\).\\\\ wahr $\quad \boxtimes\quad\quad$ falsch $\quad \square$\\\\ (c) Erfüllt eine reelle Folge $a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$ für alle $n \geq 2$ und $a_1 = 1$, so ist $(a_n)_{n\in N}$ die Fibonacci Folge.\\\\ wahr $\quad \square\quad\quad$ falsch $\quad \boxtimes$\\\\ (d) Erfüllt eine reelle Folge $a_{n+1} = \frac{n}{n+1}a_n$ für alle $n \geq 2$ und $a_1 = 1$, so ist $(a_n)_{n\in N}$ die harmonische Folge.\\\\ wahr $\quad \boxtimes\quad\quad$ falsch $\quad \square$ \bigskip \subsection{Rechenaufgabe} Formulieren Sie für die rekursiven Folgen eine geschlossene Form und tragen Sie diese in das entsprechende Kästchen ein. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte. \begin{enumerate} \item $a_1 = 2$ und $a_{n+1} = a_n + 2$ für alle $n \in \mathbb{N}$\\ \textcolor{gray}{$a_2=a_{1+1}=2+2=4=a_2$}\\ \textcolor{gray}{$a_3=a_{2+1}=4+2=6=a_3$}\\ \textcolor{gray}{$a_4=a_{3+1}=6+2=8=a_4$}\\ \textcolor{gray}{\dots}\\ \(a_n=2n\) \item $a_1 = 1$ und $a_{n+1} = a_n + 2$ für alle $n \in \mathbb{N}$\\ \textcolor{gray}{$a_2=a_{1+1}=1+2=3$}\\ \textcolor{gray}{$a_3=a_{2+1}=3+2=5$}\\ \textcolor{gray}{$a_4=a_{3+1}=5+2=7$}\\ \textcolor{gray}{\dots}\\ \(a_n=2n-1\) \item $a_1 = 1$ und $a_{n+1} = na_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$\\ \textcolor{gray}{$a_2=a_{1+1}=1\cdot 1=1$}\\ \textcolor{gray}{$a_3=a_{2+1}=2\cdot 1=2$}\\ \textcolor{gray}{$a_4=a_{3+1}=3\cdot 2=6$}\\ \textcolor{gray}{$a_5=a_{4+1}=4\cdot 6=24$}\\ \textcolor{gray}{\dots}\\ \(a_n=(n-1)!\) \item $a_1 = 1$ und $a_{n+1} = a_n + (n + 1)$ für alle $n \in \mathbb{N}$\\ \textcolor{gray}{$a_2=a_{1+1}=1+(1+1)=3$}\\ \textcolor{gray}{$a_3=a_{2+1}=3+(2+1)=6$}\\ \textcolor{gray}{$a_4=a_{3+1}=6+(3+1)=10$}\\ \textcolor{gray}{$a_5=a_{4+1}=10+(4+1)=15$}\\ \textcolor{gray}{\dots}\\ \(a_n=\sum\limits^n_{i=1}i=\frac{n\cdot (n+1)}{2}\) \end{enumerate} \end{document}