252 lines
7.1 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{pgfplots}
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\usepackage{pgfplotstable}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
|
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right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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|
headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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|
%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 2}
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\chead{\bfseries{Einführung in Verteilte Systeme\\Sommersemester 2025}}
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\rhead{\vspace{0.5\baselineskip}Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{2}
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\subsection{}
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Gehen Sie von einer näherungsweisen Darstellung eines Rechtecksignals als Fourier-Reihe aus:
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\[f(t)= \frac{4}{\pi}\sum\limits^\infty_{k=1}\frac{sin((2k-1)t)}{2k-1}=\frac{4}{\pi}\sum\limits^\infty_{k=1}a_k sin((2k-1)t)\]
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item Zeichnen Sie die Überlagerung entsprechend der Summe der Terme (für $k = 1, \dots , 4$)\\\\
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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width=15cm,
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height=6.5cm,
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xlabel={$t$},
|
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ylabel={$f(t)$},
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|
grid=major,
|
|
legend style={
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at={(0.98,0.98)},
|
|
anchor=north east,
|
|
draw=none,
|
|
fill=none,
|
|
font=\small
|
|
},
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domain=0:13,
|
|
samples=400,
|
|
thick,
|
|
axis lines=middle,
|
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ymin=-2, ymax=2,
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xtick={0,2,...,12},
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ytick={-2,-1,0,1,2},
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clip=true
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|
]
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|
% Ungedämpftes Signal (New color: Teal)
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\addplot[
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teal,
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smooth
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|
]
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|
{(4/pi)*((sin(deg(x)) + sin(deg(3*x))/3 + sin(deg(5*x))/5 + sin(deg(7*x))/7))};
|
|
\addlegendentry{Ungefiltert}
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|
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|
% Gedämpftes Signal (New color: Orange)
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|
\addplot[
|
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orange,
|
|
smooth
|
|
]
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|
{(4/pi)*((sin(deg(x)) + 0.8*sin(deg(3*x))/3 + 0.6*sin(deg(5*x))/5 + 0.4*sin(deg(7*x))/7))};
|
|
\addlegendentry{Gedämpft}
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|
\end{axis}
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|
\end{tikzpicture}
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\item Welche Frequenzen treten bei diesem Rechtecksignal auf, wenn man wieder die Terme für $k = 1, \dots , 4$ berücksichtigt?\\\\
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Der Term (2k - 1) bestimmt die Frequenzen. Diese sind:
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\begin{itemize}
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\item $\frac{1}{2\pi}$
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\item $\frac{3}{2\pi}$
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\item $\frac{5}{2\pi}$
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\item $\frac{7}{2\pi}$
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\end{itemize}
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\item Warum wird man ein perfektes Rechtecksignal in der Praxis nie erzeugen können?\\\\
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Ist unmóglich weil in der Parxis müssten die Flaken unendlich schnell und die Frequenzen unendlich hoch sein. Außerdem müssen die Frequenzen unendlich genau und konsistent sein. Demnach nicht möglich.
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\item Bei der Übertragung eines Funksignals über einen Kanal werden verschiedene Frequenzen unterschiedlich stark gedämpft. Gehen Sie von einer stärkeren Dämpfung bei höheren Frequenzen aus, entsprechend $a'_2 = 0.8 a_2,\, a'_3 = 0.6 a_3$ und $a'_4 = 0.4 a_4$, mit obigen Fourierkoeffizienten $a_k$. Wie wirkt sich dies auf die Form des Signals aus?\\\\
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Durch das Glätten wird die Kurve geglättet, also Steigungsunterschiede werden weniger rasant. Die Kurve ähnelt dadurch mehr einer Sinuskurve.
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\end{enumerate}
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\subsection{}
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In der folgenden Graphik ist ein kontinuierliches Zeitsignal mit Periodendauer $T = 1/f$ gegeben.\\\\
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Beim Sampling im Zuge der Digitalisierung dieses Signals sollen verschiedene Abtastfrequenzen $f_S$ untersucht und deren Ergebnisse gezeichnet werden. Die Signalabtastung soll jeweils beim
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Zeitnullpunkt beginnen.\\\\
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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width=14cm,
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height=7cm,
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xlabel={$t/\mathrm{s}$},
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ylabel={$x$},
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domain=0:12.5,
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|
samples=200,
|
|
axis lines=middle,
|
|
ymin=-1.3, ymax=1.3,
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|
xmin=0, xmax=12.5,
|
|
grid=major,
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|
grid style={dashed, gray!50},
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|
ytick={-1, -0.5, 0, 0.5, 1},
|
|
extra y ticks={-1, -0.5, 0, 0.5, 1},
|
|
extra y tick style={grid style={dashed, gray!70}},
|
|
thick,
|
|
legend style={
|
|
at={(0.98,0.98)},
|
|
anchor=north east,
|
|
draw=none,
|
|
fill=none,
|
|
font=\footnotesize,
|
|
legend cell align=left
|
|
}
|
|
]
|
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|
|
% Cosine wave (original)
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\addplot[blue!70!black, thick] {cos(deg(x))};
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\addlegendentry{$\cos(x)$}
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% Constant line
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\addplot[orange!80!black, dashed] {1};
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\addlegendentry{$f_S = f$}
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|
% Slower cosine
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\addplot[cyan!60!black, dashdotted, thick] {cos(deg(0.33*x))};
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|
\addlegendentry{$\cos(0.33x)$}
|
|
|
|
% Cosine sampled at 2f
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|
\addplot[orange, dotted, thick] {cos(deg(x))};
|
|
\addlegendentry{$f_S = 2f$}
|
|
|
|
% Cosine sampled at 4f
|
|
\addplot[red!70!black, loosely dotted] {cos(deg(x))};
|
|
\addlegendentry{$f_S = 4f$}
|
|
|
|
% Sampled points (3 different sets)
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|
\addplot[
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|
only marks,
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|
mark=*,
|
|
mark size=3pt,
|
|
cyan!80!black
|
|
]
|
|
table {
|
|
0 1
|
|
4.71 0
|
|
9.42 -1
|
|
};
|
|
|
|
\addplot[
|
|
only marks,
|
|
mark=*,
|
|
mark size=3pt,
|
|
orange!80!black,
|
|
]
|
|
table {
|
|
0.0 1
|
|
6.28 1
|
|
12.56 1
|
|
};
|
|
|
|
\addplot[
|
|
only marks,
|
|
mark=*,
|
|
mark size=2pt,
|
|
orange,
|
|
]
|
|
table {
|
|
0.0 1
|
|
3.14 -1
|
|
6.28 1
|
|
9.42 -1
|
|
12.56 1
|
|
};
|
|
|
|
\addplot[
|
|
only marks,
|
|
mark=*,
|
|
mark size=1pt,
|
|
red!70!black,
|
|
]
|
|
table {
|
|
0.0 1
|
|
1.57 0
|
|
3.14 -1
|
|
4.71 0
|
|
6.28 1
|
|
7.85 0
|
|
9.42 -1
|
|
10.99 0
|
|
12.56 1
|
|
};
|
|
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item Überführen Sie das Orignalsignal jeweils in eine diskrete Form bei einer Abtastrate von
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\begin{itemize}
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\item $f_S=f=1$
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\item $f_S=\frac{4}{3}f=cos(\frac{x}{}x)$
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\item $f_S=2f=cos(x)$
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\item $f_S=4f=cos(x)$
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\end{itemize}
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Geben Sie die Ergebnisse numerisch und graphisch an.\\\\
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Die Funktionen sind im Graphen überführt.\\
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\item Formulieren Sie das Theorem von Shannon für die Abtastung eines Signals in ein bis zwei Sätzen.\\\\
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Ein kontinuierliches Signal mit maximaler Frequenz $f_{max}$ kann verlustfrei rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz $f_s$ mindestens das Doppelte von $f_{max}$ beträgt.
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\end{enumerate}
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\end{document}
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