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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=2.5cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Stochastik für die Informatik\\Wintersemester 2024/2025}
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\chead{\bfseries{Übungsblatt 1}\\}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{1} % Setzt den Section-Zähler auf 1
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\subsection{Inklusions-Exklusions-Formel}
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Beweisen Sie die folgende Aussage für einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathbb{P})$:\\
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Für beliebige Ereignisse $A_i \in \Omega, i = 1, 2, 3$ gilt\\\\
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\(\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = \left(\sum\limits^3_{i=1} \mathbb{P}(A_i)\right)-\mathbb{P}(A_1 \cap A_2) + \mathbb{P}(A_1 \cap A_3) - P(A_2 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)
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\)\\\\
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Gilt diese Aussage auch für die Kardinalität, d.h., gilt:\\\\
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\(|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = \sum\limits_{i=1}^{3} |A_i| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|\)\\\\
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für beliebige Ereignisse $A_i \subseteq \Omega$, $i = 1, 2, 3$?\\\\
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\(\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup A_3)\\
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\Rightarrow \mathbb{P}((A_1 \cup A_2) \cup A_3)\\
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\Rightarrow \mathbb{P}(A_1 \cup A_2) + \mathbb{P}(A_3) - \mathbb{P}((A_1 \cup A_2) \cap A_3)\\
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\Rightarrow \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(A_2) -\mathbb{P}(A_1 \cap A_2) + \mathbb{P}(A_3) - \mathbb{P}((A_1 \cup A_2) \cap A_3)\\
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|
\Rightarrow \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(A_2) + \mathbb{P}(A_3) -\mathbb{P}(A_1 \cap A_2) - \mathbb{P}((A_1 \cup A_2) \cap A_3)\\
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\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^3\mathbb{P}(A_i) -\mathbb{P}(A_1 \cap A_2) - \mathbb{P}((A_1 \cup A_2) \cap A_3)\)\\
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\textcolor{gray}{Nebenrechnung:\\
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$\mathbb{P}(A_1\cup A_2)\cap A_3) \Rightarrow \mathbb{P}(A_1 \cap A_3)+\mathbb{P}(A_2 \cap A_3)-\mathbb{P}(A_1 \cap A_3 \cup A_2 \cap A_3) \\
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\Rightarrow \mathbb{P}(A_1 \cap A_3) + \mathbb{P}(A_2 \cap A_3) - \mathbb{P}(A_1 \cap A_3 \cup A_2 \cap A_3)$\\
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und $ (A_3 \cap A_3) = A_3$}\\
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\(\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^3\mathbb{P}(A_i) - ( \mathbb{P}(A_1 \cap A_3) + \mathbb{P}(A_2 \cap A_3) - \mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cap A_3))\\
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\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^3\mathbb{P}(A_i) - \mathbb{P}(A_1 \cap A_3) - \mathbb{P}(A_2 \cap A_3) + \mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cap A_3)\)\\\\
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Die Aussage gilt auch für die Kardinalität, wenn gilt, dass $\vert A \cup B\vert = \vert A \vert + \vert B \vert - \vert A \cap B \vert$\\\\
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\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
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\hline
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Fall & $\vert A \cup B \vert$ & $\vert A \vert + \vert B \vert - \vert A \cap B \vert$ & $\triangle$\\
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\hline
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nur in A & $\vert 1 \cup 0 \vert = 1$ & $\vert 1 \vert + \vert 0 \vert - \vert 0 \vert = 1$ & $\triangle=0$\\
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\hline
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nur in B & $\vert 0 \cup 1 \vert = 1$ & $\vert 0 \vert + \vert 1 \vert - \vert 0 \vert = 1$ & $\triangle=0$\\
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\hline in A und B & $\vert 1 \cup 1 \vert = 1$ & $\vert 1 \vert + \vert 1 \vert - \vert 1 \vert = 1$ & $\triangle=0$\\
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\hline
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\end{tabular}\\\\
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Für Beweis siehe analog zum Wahrscheinlichkeitsraum.
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\clearpage
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\subsection{}
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Eine Befragung von 1000 Personen im Rahmen einer Studie über Süßigkeiten ergab das folgende
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Bild: 34 Personen mögen überhaupt keine Süßigkeiten, 803 Personen mögen Schokolade, 744
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Bonbons, 400 Lollis, 571 Schokolade und Bonbons, 357 Schokolade und Lollis, 349 Bonbons und
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Lollis sowie 297 Schokolade, Bonbons und Lollis. Begründen Sie, dass diese Zahlen einen Fehler
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enthalten.\\
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\textit{Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 1}
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Wir verwenden die in \textit{1.1} bewiesene Aussage\\
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\(|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = \sum\limits_{i=1}^{3} |A_i| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|\\
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\Rightarrow 803 + 744 + 400 - 571 - 357 - 297 = 967 \neq 966 = 1000-34\)
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=2]
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% Draw the circles
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\draw[fill=red!30, opacity=0.5] (0,0) circle (1.5) node at (-0.25,1) {Schokolade};
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\draw[fill=green!30, opacity=0.5] (1.5,0) circle (1.5) node at (2, 0.5) {Bonbons};
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\draw[fill=blue!30, opacity=0.5] (0.75,-1.3) circle (1.5) node at (0.75,-1.75) {Lollis};
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% Label the intersections and unique parts
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% A only
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\node at (-0.75, 0.5) {$A_1 = 803$};
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% B only
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\node at (2.25, 0) {$A_2 = 744$};
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% C only
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\node at (0.75,-2.0) {$A_3 = 400$};
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% A ∩ B
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\node at (0.75, 0.5) {$A_1 \cap A_2 = 571$};
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% A ∩ C
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\node at (-0.1,-1.2) {$A_1 \cap A_3 = 357$};
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% B ∩ C
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\node at (1.5,-1.25) {$A_2 \cap A_3 = 349$};
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% A ∩ B ∩ C
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\node at (0.75,-0.5) {$A_1 \cap A_2 \cap A_3 = 297$};
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\end{tikzpicture}\\
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\[\sum\limits^3_{i=1}\lvert A_i \rvert - \lvert A_1 \cap A_2 \rvert - \lvert A_1 \cap A_3 \rvert - \lvert A_2 \cap A_3 \rvert + \lvert A_1 \cap A_2 \cap A_3 \rvert\]
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\[\Rightarrow 803 + 744 + 400 - 571 - 357 - 349 + 297 = 967 \neq 966 = 1000 - 34\]
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\end{center}
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\clearpage
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\subsection{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
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Bei der 1. Klausur Stochastik für die Informatik in einem vorigen Jahr haben 168 Studierende
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teilgenommen und davon 100 bestanden. Außerdem haben von den 168 Teilnehmern 88 Bonuspunkte bekommen (welche nicht zum Bestehen der Klausur beitragen können), indem sie mehr als 50\% der Hausaufgabenpunkte erreicht haben. Von den Studierenden, die Bonuspunkte erzielt haben, haben 65 die Klausur bestanden. Wir wählen nun zufällig einen Studenten aus und bezeichnen mit A das Ereignis, dass dieser Student die Klausur bestanden hat und mit B das Ereignis, dass er Bonuspunkte erzielt hat.\\
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Berechnen Sie\\
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a) $\mathbb{P}(A \mid B)$\\\\
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\(\mathbb{P}(A\vert B) = \frac{65}{88}\) Aus Aufgabe abgelesen.\\\\
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b) $\mathbb{P}(A \cup B)$\\\\
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\(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)- \mathbb{P}(A \cap B) \Rightarrow \frac{100}{168}+\frac{88}{168}-\frac{65}{168}=\frac{123}{168}=\frac{41}{56}\)\\
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\textcolor{gray}{$\mathbb{P}(A \cap B) = \frac{65}{168}$}\\\\
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c) $\mathbb{P}(A^c \cup B^c)$\\\\
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\(\mathbb{P}(A^c \cup B^c)= \mathbb{P}(A^c)+ \mathbb{P}(B^c)- \mathbb{P}(A^c \cap B^c) \Rightarrow \frac{68}{168}+ \frac{80}{168}-\frac{45}{168}=\frac{103}{168}\)\\\\
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d) $\mathbb{P}(A^c \mid B)$\\\\
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\(\mathbb{P}(A^c\vert B) = \frac{23}{88}\) Aus Text abgelesen.\\\\
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e) $\mathbb{P}(B^c \mid A^c)$\\\\
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\(\mathbb{P}(B^c\vert A^c)=\frac{\mathbb{P}(A^c \cap B^c)}{\mathbb{P}(A^c)}\Rightarrow \frac{45}{168}:\frac{68}{168}= \frac{45}{168}\cdot \frac{168}{68}=\frac{45}{68}\)
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
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% Draw the root
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\node at (0,0) {Start};
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% First level
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\node at (-2,-2) {Bestanden};
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\node at (2,-2) {Bestanden$^c$};
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% Second level
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\node at (-3,-4) {Bonuspunkte};
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\node at (-1,-4) {Bonuspunkte$^c$};
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|
\node at (1,-4) {Bonuspunkte};
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|
\node at (3,-4) {Bonuspunkte$^c$};
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% End probabilities
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\node at (-3,-4.5) {\(\frac{65}{168}\)};
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\node at (-1,-4.5) {\(\frac{35}{168}\)};
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\node at (1,-4.5) {\(\frac{23}{168}\)};
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\node at (3,-4.5) {\(\frac{45}{168}\)};
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% Draw the branches with probabilities as proper fractions
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\draw[->] (0,-0.25) -- (-2,-1.75) node[midway, left] {\(\frac{100}{168}\)};
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\draw[->] (0,-0.25) -- (2,-1.75) node[midway, right] {\(\frac{68}{168}\)};
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|
\draw[->] (-2,-2.25) -- (-3,-3.75) node[midway, left] {\(\frac{65}{100}\)};
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\draw[->] (-2,-2.25) -- (-1,-3.75) node[midway, right] {\(\frac{35}{100}\)};
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\draw[->] (2,-2.25) -- (1,-3.75) node[midway, left] {\(\frac{23}{68}\)};
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|
\draw[->] (2,-2.25) -- (3,-3.75) node[midway, right] {\(\frac{45}{68}\)};
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\clearpage
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\subsection{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
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Eine Urne enthält sechs schwarze und vier weiße Kugeln, eine zweite Urne enthält fünf schwarze
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und fünf weiße Kugeln. Eine faire Münze wird geworfen um zu entscheiden, aus welcher Urne
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gezogen wird. Man zieht dann nacheinander mit Zurücklegen zwei Kugeln aus der gewählten
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Urne.\\\\
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.2, every node/.style={align=center}]
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% Draw the root
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\node at (0,0) {Start};
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% First level
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\node at (-3,-2) {U$_1$};
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\node at (3,-2) {U$_2$};
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% Second level
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\node at (-4,-4) {W$_1$};
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\node at (-2,-4) {S$_1$};
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\node at (2,-4) {W$_1$};
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|
\node at (4,-4) {S$_1$};
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% Third level for W1 and S1
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\node at (-4.5,-6.5) {S$_2$ \\ \(\frac{16}{200}\)};
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\node at (-3.5,-6.5) {W$_2$ \\ \(\frac{24}{200}\)};
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\node at (-2.5,-6.5) {S$_2$ \\ \(\frac{24}{200}\)};
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|
\node at (-1.5,-6.5) {W$_2$ \\ \(\frac{36}{200}\)};
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% Third level for S1
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\node at (1.5,-6.5) {S$_2$ \\ \(\frac{25}{200}\)};
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|
\node at (2.5,-6.5) {W$_2$ \\ \(\frac{25}{200}\)};
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|
\node at (3.5,-6.5) {S$_2$ \\ \(\frac{25}{200}\)};
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|
\node at (4.5,-6.5) {W$_2$ \\ \(\frac{25}{200}\)};
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% Draw the branches with probabilities
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\draw[->] (0,0) -- (-3,-1.75) node[midway, left] {\(\frac{1}{2}\)};
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\draw[->] (0,0) -- (3,-1.75) node[midway, right] {\(\frac{1}{2}\)};
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|
\draw[->] (-3,-2.25) -- (-4,-3.75) node[midway, left] {\(\frac{2}{5}\)};
|
|
\draw[->] (-3,-2.25) -- (-2,-3.75) node[midway, right] {\(\frac{3}{5}\)};
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|
|
|
\draw[->] (3,-2.25) -- (2,-3.75) node[midway, left] {\(\frac{1}{2}\)};
|
|
\draw[->] (3,-2.25) -- (4,-3.75) node[midway, right] {\(\frac{1}{2}\)};
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% Draw branches for W1
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\draw[->] (-4,-4.25) -- (-4.5,-6) node[midway, left] {\(\frac{2}{5}\)};
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|
\draw[->] (-4,-4.25) -- (-3.5,-6) node[midway, right] {\(\frac{3}{5}\)};
|
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|
% Draw branches for S1
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|
\draw[->] (-2,-4.25) -- (-2.5,-6) node[midway, left] {\(\frac{2}{5}\)};
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|
\draw[->] (-2,-4.25) -- (-1.5,-6) node[midway, right] {\(\frac{3}{5}\)};
|
|
|
|
% Draw branches for U2
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|
\draw[->] (2,-4.25) -- (1.5,-6) node[midway, left] {\(\frac{1}{2}\)};
|
|
\draw[->] (2,-4.25) -- (2.5,-6) node[midway, right] {\(\frac{1}{2}\)};
|
|
|
|
\draw[->] (4,-4.25) -- (3.5,-6) node[midway, left] {\(\frac{1}{2}\)};
|
|
\draw[->] (4,-4.25) -- (4.5,-6) node[midway, right] {\(\frac{1}{2}\)};
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
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|
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist?\\\\
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Wir addieren alle Ergebnisse für eine schwarze Kugel, die im zweiten Zug gezogen wurde:\\
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\(\frac{24}{200}+\frac{36}{200}+\frac{25}{200}+\frac{25}{200}=\frac{110}{200}=\frac{11}{20}\)\\\\
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|
(b) Wie groß die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist, falls die erste Kugel schwarz ist?\\\\
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|
Wir berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Urnen (Urne wird gewählt($U_1/U_2$)), die erste Kugel ist schwarz($S_1)$, die zweite Kugel ist schwarz($S_2$) wir nennen diese Wahrscheinlichkeit $\mathbb{P}(A)$.\\
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|
\(\mathbb{P}(U_1 \cap S_1 \cap S_2)= \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{50}\\
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|
\mathbb{P}(U_2 \cap S_1 \cap S_2)= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}= \frac{1}{8}\\
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|
\mathbb{P}(U_1 \cap S_1 \cap S_2)\cup\mathbb{P}(U_2 \cap S_1 \cap S_2)\\
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|
= \mathbb{P}(U_1 \cap S_1 \cap S_2) + \mathbb{P}(U_2 \cap S_1 \cap S_2) - \mathbb{P}(U_1 \cap S_1 \cap S_2)\cap\mathbb{P}(U_2 \cap S_1 \cap S_2)= \frac{36}{200}+\frac{25}{200}-0=\frac{61}{200} = \mathbb{P}(A)\)\\\\
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|
Dann berechnen wir die Bedingung, dass eine schwarze Kugel gezogen wird unter der Bedingung, dass die erste Kugel auch schwarz war $\mathbb{P}(A)$(siehe (a))\\
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|
\(\mathbb{P}(B \vert A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}= \frac{61}{200} : \frac{11}{20}=\frac{122}{220}= \frac{61}{110}\)\\\\
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|
\clearpage
|
|
\noindent (c) Wie groß die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist, falls die Urne mit sechs schwarzen Kugeln gewählt wurde und die erste Kugel schwarz ist?\\\\
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Da die Urne schon gewählt wurde und die erste schwarze Kugel bereits gezogen wurde, kann die Wahrscheinlichkeit mit $\frac{3}{5}$ aus dem Baum abgelesen werden.\\\\
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|
(d) Wir betrachten die Ereignisse:\\
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\hspace*{0,5cm}\textit{A}: die Urne mit sechs schwarzen Kugeln wird gewählt und die erste Kugel ist schwarz,\\
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|
\hspace*{0,5cm}\textit{B}: die zweite Kugel ist schwarz\\
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\hspace*{0,5cm}Berechnen Sie $\mathbb{P}(A), \mathbb{P}(B), \mathbb{P}(A \cap B)$\\\\
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\(\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(U_1 \cap S_1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{10}\)\\
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|
\(\mathbb{P}(B)=\frac{24}{200}+\frac{36}{200}+\frac{25}{200}+\frac{25}{200}=\frac{110}{200}=\frac{11}{20}\) (siehe (a))\\
|
|
\(\mathbb{P}(A \cap B)=\mathbb{P}(U_1 \cap S_1 \cap S_2)= \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{50}\) (siehe (c))
|
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\end{document}
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