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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 3}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{3}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreffende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Jede konvergente reelle Folge ist bereits eine Cauchy-Folge. \begin{flushright} wahr $\square \quad$ falsch $\boxtimes$ \end{flushright}
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\item Seien $a \in \mathbb{R}$ und $(a_n)_n \in \mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ eine reelle Folge. Seien des Weiteren die Teilfolgen $(a_{3n})_n \in \mathbb{N}$, $(a_{3n+1})_n \in \mathbb{N}$, $(a_{3n+2})_n \in \mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ konvergent mit
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\[
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\lim\limits_{n \to \infty} a_{3n} = \lim\limits_{n \to \infty} a_{3n + 1} = \lim\limits_{n \to \infty} a_{3n + 2} = a
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\]
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Dann konvergiert $(a_n)_n \in \mathbb{N}$ gegen a.
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\begin{flushright} wahr $\boxtimes \quad$ falsch $\square$ \end{flushright}
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\item Seien $(a_n)_n \in \mathbb{N}$, $(b_n)_n \in N \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen mit $c_n := a_n + b_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Dann gilt
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\[
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sup\{c_n : n \in \mathbb{N}\} = sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\} + sup\{b_n : n \in \mathbb{N}\}.
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\]
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\begin{flushright} wahr $\square \quad$ falsch $\boxtimes$ \end{flushright}
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\item Seien $(a_n)_n \in \mathbb{N}$, $(b_n)_n \in N \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen mit $c_n := a_n - b_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Dann gilt
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\[
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sup\{c_n : n \in \mathbb{N}\} \leq sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\} - inf\{b_n : n \in \mathbb{N}\}.
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\]
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\begin{flushright} wahr $\boxtimes \quad$ falsch $\boxtimes$ \end{flushright}
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Zeigen Sie durch Verwendung von Defnition und Satz 1.19, dass die Folge
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\[
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a_{n+1} = \frac{1}{2} \left(a_n + \frac{2}{a_n} \right) \text{ mit } a_1 = 1
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\]
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konvergiert und berechnen Sie dann mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte $\lim\limits_{n \to \infty}$.\\\\
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Laut dem Satz 1.19 aus dem Skript gilt $a_{n + 1} \leq a_n$ und wenn die Folge ins positive konvergiert, ist sie begrenzt:\\
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\[
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a_{n + 1} \leq a_n
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\]
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\[
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\frac{1}{2}\left(a_n + \frac{2}{a_n}\right) \leq a_n
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\]
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\[
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a_n + \frac{2}{a_n} \leq 2a_n
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\]
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\[
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\frac{2}{a_n} \leq a_n
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\]
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\[
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2 \leq a_n^2
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\]
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\[
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\sqrt{2} \leq a_n
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\]
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Somit ist klar, dass die Folge gegen $\sqrt{2}$ konvergiert für $n \to \infty$ und von $> \sqrt{2}$ nach $\sqrt{2}$. Die Folge ist daher monoton fallend.
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\item Auf Aufgabenblatt 1 haben Sie gezeigt, dass $\sqrt{2}$ eine irrationale Zahl ist, ohne ihre Existenz zu beweisen. Zeigen Sie, dass es eine reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ gibt mit $x^2 = 2$.\\\\
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Die Folge $a_n$ konvergiert gegen $\sqrt{2}$ (also für $n = \infty \to a_n = \sqrt{2}$) und daher existiert ein $x \in \mathbb{R}$ mit $x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Bestimmen Sie für die Menge
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\[
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M = \left\{ \frac{1}{m} + \frac{1}{3^n} : m, n \in \mathbb{N} \right\}
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\]
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das Supremum, Infmum, Maximum und Minimum, sofern jeweils existierend. Tragen Sie das Endergebnis in die Kästen ein. Im Falle der Nicht-Existenz schreiben Sie NaN in das entsprechende Kästchen. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an.\\
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\begin{itemize}
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\item $sup M = \frac{4}{3}$
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\item $max M = \frac{4}{3}$
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\item $inf M = 0$
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\item $min M = NaN$
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\end{itemize}
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\bigskip
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\subsection{Votieraufgabe}
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Es seien A, B nicht leere, beschränkte Teilmengen von R und $A + B := \{a + b : a \in A, b \in B\}$ ihre (elementweise) Summe. Zeigen Sie: A + B ist beschränkt, und es gilt
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\[
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sup(A + B) = sup A + sup B,
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\]
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\[
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inf(A + B) = inf A + inf B.
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\]
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\end{document} |