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5.4 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 4}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{4}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Zeigen Sie
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\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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\item Für $|q| < 1$ gilt $\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$.
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\item Für $q > 1$ gilt $\lim\limits_{n\to\infty}q^n = \infty$.
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\item Für $q\leq -1$ divergiert $q^n$ unbestimmt.
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\end{enumerate}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.\\
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Seien $(a_n)n, (b_n)n \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen.
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\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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\item Die Reihe
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\[\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\]
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konvergiert absolut.
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\begin{flushright}
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wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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\end{flushright}
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\textcolor{gray}{Die Folge ist zwar konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, da $\sum\limits^\infty_{n=0}|a_n|$ nicht konvergiert.}
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\item Sei die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergent und $a_n\leq b_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Dann ist auch die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ konvergent.
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\begin{flushright}
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wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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\end{flushright}
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\textcolor{gray}{$a_n$ ist nur nach oben beschränkt, deshalb ist die Konvergenz nicht gegeben.}
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\item Sei die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergent und $|a_n|\leq |b_n|$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Dann ist auch die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ konvergent.
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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\end{flushright}
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\textcolor{gray}{Da durch den Betrag von $a_n$ gilt $0\leq |a_n|\leq b_n$ $a_n$ durch die x-Achse begrenzt ist, wissen wir, dass die Reihe konvergent ist.}
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\item Sei die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergent und $|a_n|\leq b_n$ für alle $n\geq 100$. Dann sind die Reihen $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ und $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ absolut konvergent.
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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\end{flushright}
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\textcolor{gray}{$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ ist absolut konvergent, weil $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergiert und $|a_n|\leq b_n$ gilt. Konvergiert der Betrag einer Folge gilt sie als absolut konvergent. $b_n$ ist durch den Betrag von $a_n$ nach unten beschränkt und damit immer $\geq 0$ und somit auch absolut konvergent.}
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\end{enumerate}
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und tragen Sie diese in die Kästchen ein. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\sum\limits^\infty_{k=1}\left(-\frac{1}{3}\right)^k=-\frac{1}{4}\]
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}}\vspace*{5mm}
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\sum\limits^\infty_{k=5}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k+1}=\frac{1}{6}\]
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}}\vspace*{5mm}
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\sum\limits^\infty_{k=1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)=0\]
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}}\vspace*{5mm}
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\sum\limits^\infty_{k=1}\left(-\frac{1}{3}\right)^k=-\frac{1}{4}\]
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}}\vspace*{5mm}
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\textit{Hinweis:} Vergewissern Sie sich zunächst, dass
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\[\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4k+2}-\frac{1}{4k+4}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right).\]
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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Sei $x>0$ fest. Zeigen Sie, dass die Folge
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\[a_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\quad \text{ für } n\in\mathbb{N}\]
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monoton steigend und beschränkt ist.\\
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\textit{Hinweis:} Zeigen Sie zunächst, dass $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ für alle $n\in\mathbb{N}$.
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\end{document}
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