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TeX
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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.17}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 5}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{5}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Sei $a_n)_n \subset \mathbb{R}$ eine reelle Folge.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Zeigen Sie, dass wenn
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\[\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L<1,\]
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dann konvergiert die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ absolut.
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\item Geben Sie ein Beispiel für $L = 1$ an, sodass die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ an nicht konvergiert.
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\end{enumerate}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.\\
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Seien $(a_n)_n, (b_n)_n, (c_n)_n, (d_n)_n \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Falls $(a_n)_n$ eine Nullfolge ist, so konvergiert für jede beliebige Folge $(b_n)_n$ mit $b_n > nb_{n+1} + a_n$ das Produkt $(a_nb_n)_n \subset \mathbb{R}$.
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\begin{flushright}
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wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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\end{flushright}
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\item Sei $a_n \in O(c_n)$ und $b_n \in O(d_n)$ für $n\to\infty$. Dann gilt:
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\[(a_n+b_n)\in O(c_n+d_n)\quad \text{ für } n\to\infty\]
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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\end{flushright}
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\item Für $(a_n) \in O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ ist $(a_n)\in o\left(\frac{1}{n}\right)$ für $n\to\infty$.
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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\end{flushright}
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\item Für $(a_n) \in o\left(\frac{1}{n}\right)$ ist $(a_n) \in O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ für $n\to\infty$. \begin{flushright}
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wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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\end{flushright}
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\end{enumerate}
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Ein - zugegeben etwas primitiver - Rechner stellt reelle Zahlen im Gleitkommaformat mit einem Byte dar. Bei der (nomarlisierten) Zahlendarstellung werden 1 Bit für das Vorzeichen, 4 Bits für die Mantisse und 3 Bits für den Exponenten bei einem Bias von 3 verwendet. Bestimmen Sie die Gleitkommadarstellung
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\[(-1)^S(1+M\cdot 2^{-4})2^{E-3}\]
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der Zahlen und tragen Sie diese in \textbf{Binärdarstellung} in das entsprechende Kästchen. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[-1 = \frac{1|0000|011}{S\quad M\quad E\quad}\]
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}}\vspace*{5mm}
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[0.125 = \frac{0|0000|000}{S\quad M\quad E\quad}\]
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}}\vspace*{5mm}
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[2.5 = \frac{0|0100|100}{S\quad M\quad E\quad}\]
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}}\vspace*{5mm}
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[-1.25 = \frac{1|0100|011}{S\quad M\quad E\quad}\]
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}}\vspace*{5mm}
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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Unser Ein-Byte-Rechner soll weiterhin mit 1 Bit für das Vorzeichen, 4 Bits für die Mantisse und 3 Bits für den Exponenten bei einem Bias von 3 ausgestattet sein.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Wie viele verschiedene Zahlen können in diesem Gleitkomma-Format dargestellt werden?\\
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Es können $2^8 = 256$ verschiedene Zahlen dargestellt werden
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\item Geben sie $x_{max}$, $x_{min}$, sowie das betragliche Minimum $x_{minabs}$ an.\\
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$x_{max}=31$\\
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$x_{min}=-31$\\
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$x_{minabs}=0,125$
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\item Skizzieren (bzw. plotten) sie alle darstellbaren Zahlen auf einer Zahlengeraden.\\
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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width=\textwidth,
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height=5cm,
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axis y line=none,
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axis x line=bottom,
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xmin=-32,
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xmax=32,
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ymin=0,
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ymax=1,
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xtick={-32,-24,-16,-8,0,8,16,24,32},
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xlabel={Zahlenwert},
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ytick=\empty,
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]
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% Alle darstellbaren positiven Werte
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\addplot[
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only marks,
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mark=|,
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]
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coordinates {
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% Positive Werte
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(0.125,0) (0.1328125,0) (0.140625,0) (0.1484375,0)
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(0.15625,0) (0.1640625,0) (0.171875,0) (0.1796875,0)
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(0.1875,0) (0.1953125,0) (0.203125,0) (0.2109375,0)
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(0.21875,0) (0.2265625,0) (0.234375,0) (0.2421875,0)
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(0.25,0) (0.265625,0) (0.28125,0) (0.296875,0)
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(0.3125,0) (0.328125,0) (0.34375,0) (0.359375,0)
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(0.375,0) (0.390625,0) (0.40625,0) (0.421875,0)
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|
(0.4375,0) (0.453125,0) (0.46875,0) (0.484375,0)
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(0.5,0) (0.53125,0) (0.5625,0) (0.59375,0)
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(0.625,0) (0.65625,0) (0.6875,0) (0.71875,0)
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(0.75,0) (0.78125,0) (0.8125,0) (0.84375,0)
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(0.875,0) (0.90625,0) (0.9375,0) (0.96875,0)
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(1.0,0) (1.0625,0) (1.125,0) (1.1875,0)
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(1.25,0) (1.3125,0) (1.375,0) (1.4375,0)
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(1.5,0) (1.5625,0) (1.625,0) (1.6875,0)
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(1.75,0) (1.8125,0) (1.875,0) (1.9375,0)
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(2.0,0) (2.125,0) (2.25,0) (2.375,0)
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(2.5,0) (2.625,0) (2.75,0) (2.875,0)
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(3.0,0) (3.125,0) (3.25,0) (3.375,0)
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(3.5,0) (3.625,0) (3.75,0) (3.875,0)
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(4.0,0) (4.25,0) (4.5,0) (4.75,0)
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(5.0,0) (5.25,0) (5.5,0) (5.75,0)
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(6.0,0) (6.25,0) (6.5,0) (6.75,0)
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(7.0,0) (7.25,0) (7.5,0) (7.75,0)
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(8.0,0) (8.5,0) (9.0,0) (9.5,0)
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(10.0,0) (10.5,0) (11.0,0) (11.5,0)
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(12.0,0) (12.5,0) (13.0,0) (13.5,0)
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(14.0,0) (14.5,0) (15.0,0) (15.5,0)
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(16.0,0) (17.0,0) (18.0,0) (19.0,0)
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(20.0,0) (21.0,0) (22.0,0) (23.0,0)
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(24.0,0) (25.0,0) (26.0,0) (27.0,0)
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(28.0,0) (29.0,0) (30.0,0) (31.0,0)
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};
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% Negative Spiegelung
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\addplot[
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only marks,
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mark=|,
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]
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coordinates {
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(-0.125,0) (-0.1328125,0) (-0.140625,0) (-0.1484375,0)
|
|
(-0.15625,0) (-0.1640625,0) (-0.171875,0) (-0.1796875,0)
|
|
(-0.1875,0) (-0.1953125,0) (-0.203125,0) (-0.2109375,0)
|
|
(-0.21875,0) (-0.2265625,0) (-0.234375,0) (-0.2421875,0)
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(-0.25,0) (-0.265625,0) (-0.28125,0) (-0.296875,0)
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(-0.3125,0) (-0.328125,0) (-0.34375,0) (-0.359375,0)
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(-0.375,0) (-0.390625,0) (-0.40625,0) (-0.421875,0)
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(-0.4375,0) (-0.453125,0) (-0.46875,0) (-0.484375,0)
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(-0.5,0) (-0.53125,0) (-0.5625,0) (-0.59375,0)
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(-0.625,0) (-0.65625,0) (-0.6875,0) (-0.71875,0)
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(-0.75,0) (-0.78125,0) (-0.8125,0) (-0.84375,0)
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(-0.875,0) (-0.90625,0) (-0.9375,0) (-0.96875,0)
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|
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(-1.0,0) (-1.0625,0) (-1.125,0) (-1.1875,0)
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(-1.25,0) (-1.3125,0) (-1.375,0) (-1.4375,0)
|
|
(-1.5,0) (-1.5625,0) (-1.625,0) (-1.6875,0)
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|
(-1.75,0) (-1.8125,0) (-1.875,0) (-1.9375,0)
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|
|
|
(-2.0,0) (-2.125,0) (-2.25,0) (-2.375,0)
|
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(-2.5,0) (-2.625,0) (-2.75,0) (-2.875,0)
|
|
(-3.0,0) (-3.125,0) (-3.25,0) (-3.375,0)
|
|
(-3.5,0) (-3.625,0) (-3.75,0) (-3.875,0)
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|
|
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(-4.0,0) (-4.25,0) (-4.5,0) (-4.75,0)
|
|
(-5.0,0) (-5.25,0) (-5.5,0) (-5.75,0)
|
|
(-6.0,0) (-6.25,0) (-6.5,0) (-6.75,0)
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|
(-7.0,0) (-7.25,0) (-7.5,0) (-7.75,0)
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|
|
|
(-8.0,0) (-8.5,0) (-9.0,0) (-9.5,0)
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|
(-10.0,0) (-10.5,0) (-11.0,0) (-11.5,0)
|
|
(-12.0,0) (-12.5,0) (-13.0,0) (-13.5,0)
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(-14.0,0) (-14.5,0) (-15.0,0) (-15.5,0)
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|
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(-16.0,0) (-17.0,0) (-18.0,0) (-19.0,0)
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(-20.0,0) (-21.0,0) (-22.0,0) (-23.0,0)
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(-24.0,0) (-25.0,0) (-26.0,0) (-27.0,0)
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(-28.0,0) (-29.0,0) (-30.0,0) (-31.0,0)
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|
};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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\item Bestimmen sie den maximalen absoluten und relativen Rundungsfehler in [$x_{minabs}$, $x_{max}$].\\
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Ab $\pm 16$ kann man die Zahlen nur in 1-er Schritten erreichen. Der größte absolute Fehler liegt also bei 16,5 mit einem Abstand von 0,5 zu den nächsten maschinell erreichbaren Zahlen: $x_{max}=0,5$.(maximaler absoluter Rundungsfehler)\\
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Der relative Rundungsfehler zwischen 16 und 16,5 von 0,5 berechnet sich zu $\frac{16,5-16}{16,5}=\frac{1}{33}$, alle relativen Rundungsfehler bei betraglich größeren Zahlen wird anteilig kleiner, wir vergleichen also mit dem relativen Rundungsfehler zwischen den beiden kleinsten positiven Werten, die berechnen werden können $\frac{\frac{34}{256}-\frac{33}{256}}{\frac{33}{256}}=\frac{1}{33}$.\\
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Den relativen Rundungsfehler zwischen 0,125 und -0,125 können wir nicht berechnen, da wir hierbei durch 0 teilen müssten und das nicht zulässig ist.\\
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Der maximale relative Rundungsfehler liegt somit bei $\frac{1}{33}$.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{document}
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