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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.17}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 6}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{6}
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Bestimmen Sie die Grenzwerte und tragen Sie diese in die Kästchen ein. Im Falle der Nicht-Existenz schreiben Sie NaN in das entsprechende Kästchen. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an.\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\lim\limits_{x_\to 0}\frac{x-3}{x-4}=\frac{3}{4}\]
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}}\vspace*{5mm}
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Seien $p,q \in \mathbb{N}$\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\lim\limits_{x_\to 1}\frac{x^p-1}{x^q-1}=\frac{p}{q}\]
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}}\\\\
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\textit{Hinweis:} Verwenden Sie die geometrische Summenformel.\\
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\textcolor{gray}{$\frac{x^{p-1}}{x^{q-1}} = \frac{x^{p-1} + x^{p-2} + ... + x^{2} + x^{1} + 1}{x^{q-1} + x^{q-2} + ... + x^{2} + x^{1} + 1} = \frac{\sum\limits_{k = 0}^{p - 1} x^k}{\sum\limits_{k = 0}^{q - 1} x^k} \rightarrow \frac{\lim\limits_{x \rightarrow 1} \sum\limits_{k = 0}^{p - 1} x^k}{\lim\limits_{x \rightarrow 1} \sum\limits_{k = 0}^{q - 1} x^k} = \frac{p}{q}$}\\\\
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Sei $\lfloor x\rfloor$ die größte Zahl, welche kleiner als $x$ ist.\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\lim\limits_{x_\downarrow 1}(x-\lfloor x\rfloor)=0\]
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}}\vspace*{5mm}
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\lim\limits_{x_\uparrow 1}(x-\lfloor x\rfloor)=1\]
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}}\vspace*{5mm}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.\\
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\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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\item Für die Menge $D= \{1/n+(-1)^n|n\in \mathbb{N}\}\cup\{(-1)^m|m\in\mathbb{N}\}$ gilt $D= \overline{D}$.
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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|
\end{flushright}
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\item Für die Menge $D= \{1/n+ (-1)^m|m,n\in\mathbb{N}\}$ gilt $D= \overline{D}$.
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\begin{flushright}
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|
wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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|
\end{flushright}
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\item Die Funktion $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$\\
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\hspace*{4,57cm}\(f(x)=\begin{cases}
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x^2, & \hspace*{0,65cm}x\leq 0,\\
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0, & 0\leq x \leq 1,\\
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|
x-1, & 1\leq x
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\end{cases}\)\\
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ist stetig in $x=0$.
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|
\begin{flushright}
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|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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|
\end{flushright}
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|
\newpage
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|
\item Die Funktion $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$\\
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|
\hspace*{4,57cm}\(f(x)=\begin{cases}
|
|
x^2, & \hspace*{0,65cm}x\leq 0,\\
|
|
0, & 0\leq x \leq 1,\\
|
|
x-1, & 1\leq x
|
|
\end{cases}\)\\
|
|
ist stetig in $x=1$.
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\begin{flushright}
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|
wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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\end{flushright}
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\end{enumerate}
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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\item Zeigen Sie, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x^3$ stetig ist in $x_0 \in\mathbb{R}$. Verwenden Sie hierfür das Folgenkriterium.\\
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Wir verwenden das Folgenkriterium für Stetigkeit das wie folgt definiert ist:
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Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ist stetig in \( x_0 \), wenn für jede Folge \( (x_n) \) mit \( \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \) gilt:
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\[
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\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0).
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\]
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Sei \( f(x) = 3x^3 \) und \( x_n \to x_0 \). Da Potenzfunktionen stetig sind, folgt:
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\[
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\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 3x_n^3 = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} x_n^3 = 3x_0^3 = f(x_0).
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\]
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Daraus folgt, dass die Funktion \( f(x) = 3x^3 \) stetig ist in jedem \( x_0 \in \mathbb{R} \).
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\item Zeigen Sie, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \setminus \-2\}\to\mathbb{R}, f(x) =\frac{x}{2+x}$ stetig ist in $x_0 = 2$. Verwenden Sie hierfür das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium.\\
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Wir zeigen die Stetigkeit mittels des \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriteriums.
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Zunächst berechnen wir:
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\[
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f(2) = \frac{2^2 + 2}{2 + 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
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\]
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Wir betrachten:
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\[
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\left| f(x) - f(2) \right| = \left| \frac{x^2 + x}{x + 2} - \frac{3}{2} \right|.
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\]
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Rechne die Differenz aus:
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\[
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\left| \frac{2(x^2 + x) - 3(x + 2)}{2(x + 2)} \right| = \left| \frac{2x^2 + 2x - 3x - 6}{2(x + 2)} \right| = \left| \frac{2x^2 - x - 6}{2(x + 2)} \right|.
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\]
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Zerlegung des Zählers:
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\[
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2x^2 - x - 6 = (2x + 3)(x - 2),
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\]
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daher:
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\[
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\left| f(x) - f(2) \right| = \left| \frac{(2x + 3)(x - 2)}{2(x + 2)} \right|.
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\]
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Für \( x \in (1, 3) \) gilt:
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\[
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|2x + 3| \leq 9, \quad |x + 2| \geq 3 \Rightarrow \left| f(x) - f(2) \right| \leq \frac{9}{6} |x - 2| = \frac{3}{2} |x - 2|.
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\]
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Damit wählen wir:
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\[
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\delta = \frac{2}{3} \varepsilon \Rightarrow |x - 2| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(2)| < \varepsilon.
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\]
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Somit gilt, dass \( f(x) = \frac{x^2 + x}{x + 2} \) stetig ist in \( x_0 = 2 \).\\
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\item Entscheiden Sie (mit Begründung) für welche $\alpha\in[0,1]$ die Funktion $f_\alpha: [0,1] \to\mathbb{R}, f_\alpha(x) = x_\alpha$ Lipschitz-stetig ist.\\
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Definition von Lipschitz Stetigkeit: Eine Funktion \( f: [0, 1] \to \mathbb{R} \) ist es, wenn ein \( L > 0 \) existiert, sodass für alle \( x, y \in [0,1] \) gilt:
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\[
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|f(x) - f(y)| \leq L |x - y|.
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\]
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\textbf{Fall \( \alpha = 0 \):}
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\[
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f_0(x) = 1 \Rightarrow \text{konstant} \Rightarrow \text{Lipschitz-stetig mit } L = 0.
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\]
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\textbf{Fall \( \alpha = 1 \):}
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\[
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f_1(x) = x \Rightarrow \text{linear} \Rightarrow \text{Lipschitz mit } L = 1.
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\]
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\textbf{Fall \( \alpha \in (0,1) \):}
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Dann ist:
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\[
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f'_\alpha(x) = \alpha x^{\alpha - 1}.
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\]
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Da \( \alpha - 1 < 0 \), wird \( f'_\alpha(x) \to \infty \) für \( x \to 0^+ \), also ist die Steigung nahe 0 nicht beschränkt.
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Daraus folgt: für \( \alpha \in (0,1) \) ist \( f_\alpha \) \emph{nicht} Lipschitz-stetig auf \([0,1]\).
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\end{enumerate}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Ein Kreditinstitut vergibt monatlich Zinsen auf ein gegebenes Startkapital $S \in\mathbb{R}_+$. Im ersten Monat werden 1\% Zinsen auf das Startkapital $S= G(0)$ ausgezahlt, im zweiten Monat 2\% auf das Gesamtkapital $G(1) \in \mathbb{R}$ nach einem Monat, usw. bis im $n$-ten Monat $n$\% Zinsen auf das Gesamtkapital $G(n-1)$ nach $(n-1)$ Monaten ausgezahlt wird.
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\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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\item Berechnen für $S = 1$, wie hoch das Gesamtkapital $G(12)$ nach einem Jahr ist.\\
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\(\prod\limits^{12}_{i=1} x \cdot (1+\frac{i}{100})=2,1157044115\approx 2,12\)
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\item Berechnen Sie, wie hoch das Startkapital $S$ mindestens sein muss, sodass nach einem Jahr \[G(12) \geq 1000.\]\\
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Für $G(12)\geq 1000 $ können wir die Gegenrechnung $\frac{1000}{2,12}=471,69811321 \approx 471,7 $ verwenden. Wir müssen also mit einem Startkapital $S\geq 471,70 $ beginnen, um nach einem Jahr ein Kapital von $1000 $ zu erhalten.
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\item Berechnen Sie die Anzahl der Monate $n\in\mathbb{N}$, sodass das Gesamtkapital
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\[G(n) \geq 100\]
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bei einem Startkapital $S = 1$.\\
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Für $G(n)=100$ betrachten wir in Intervallen, we sich $G$ verändert.\\
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$G(12)\approx 2,12$\\
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$G(20)\approx 7,17$\\
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$G(30)\approx 69,29$\\
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$G(31)\approx 90,77$\\
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$G(32)\approx 119,82$\\
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Wir wissen also: $G(n)\geq 100 \,\, \forall\, n\geq 32$
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\end{enumerate}
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\textit{Hinweis:} Verwenden Sie das Prinzip der Intervallschachtelung.
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\end{document}
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