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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.17}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 7}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{7}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreffende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^n + x^m$ für $n, m \in \mathbb{N}_0$. Dann ist
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\[f \in O\left(x^{max\{n, m\}}\right) \quad \text{für } x \rightarrow \infty\]
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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\end{flushright}
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\textcolor{gray}{Bei Addition zweier Terme, kann der Term kleinerer Laufzeitklasse vernachlässigt werden. Somit zählt nur der größere. die Funktion $max\{n, m\}$ wählt den größeren der beiden Werte und somit die größere der beiden Laufzeitklassen}
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\item Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^3 - x$ ist injektiv
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\begin{flushright}
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wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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\end{flushright}
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\textcolor{gray}{Die Injektivität ist erfüllt, wenn eine Funktion nie für zwei oder mehr Eingabewerte den selben Funktionswert liefert. $x^3 - x$ erfüllt diese Aussage allerdings nicht. (Im grob abgeschätzten Interval $-2 \leq x \leq 2$ gibt es doppelte Funktionswerte)}
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\item Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^3 - x$ ist surjektiv
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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\end{flushright}
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\textcolor{gray}{Die Surjektivität ist erfüllt, wenn eine Funktion alle Werte in $\mathbb{R}$ erreichen kann}
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\item Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$
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\[f(x) = \begin{cases}
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\frac{1}{x}, & x \neq 0,\\
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0, & x = 0
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\end{cases}\]
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ist bijektiv
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes$ falsch $\square\quad$
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\end{flushright}
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\textcolor{gray}{Die Funktion ist Surjektiv, da der Fall $\frac{1}{x}$ das Bild $\mathbb{R}/\{0\}$ abdeckt und der Fall $0$ die Bildmenge $\{0\}$. Somit gilt $\mathbb{R}/\{0\} \,\cap \,\{0\} = \mathbb{R}$. Die Bijektivität ist gegeben, da keine 2 Eingabewerte den gleichen Funktionswert erreichen.}
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\end{enumerate}
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\clearpage
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Für die folgenden Funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ bestimmen Sie das minimale $n \in \mathbb{N}_0$, sodass
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\[f \in O\left(x^n\right) \quad \text{für} \rightarrow \infty\]
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Falls $f \notin O\left(x^n\right)$ für alle $n \in N_0$, tragen Sie NaN in das entrsprechende Kästchen. Bitte geben SIe nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.\\
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\(f(x) = \sum\limits^7_{k=1} \frac{x^k}{k!}\)\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[f \in O(x^n) \quad \text{für} \, n = 7\]
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}}\vspace*{2mm}
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\textcolor{gray}{Die höchste Potenz ist $x^7$, also ist das asymptotische Verhalten $O(x^7)$.}\\
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\(f(x) = e^x\)\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[f \in O(x^n) \quad \text{für} \, n = \text{NaN}\]
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}}\vspace*{2mm}
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\textcolor{gray}{$e^x$ wächst schneller als jede Potenz, also ist $f \notin O(x^n)$ für endliches $n$.}\\
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\(f(x) = \text{sin}(x)\)\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[f \in O(x^n) \quad \text{für} \, n = 0\]
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}}\vspace*{2mm}
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\textcolor{gray}{$\sin(x)$ ist beschränkt, also ist $f \in O(1) = O(x^0)$.}\\
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\(f(x) = (2 \, \text{ln} \, x - \text{ln}(x^2 + 2))\)\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[f \in O(x^n) \quad \text{für} \, n = 0\]
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}}\vspace*{2mm}
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\textcolor{gray}{Für große $x$ ist $f(x) \approx 2\ln x - 2\ln x = 0$, also beschränkt $\Rightarrow O(1) = O(x^0)$.}
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\clearpage
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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\begin{enumerate}
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\item $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt, d.h., es gibt ein $a \in [0, 1]$ mit $f(a) = a$.
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Wir definieren $g(x) := f(x) - x$. $g$ ist stetig, da $f$ stetig ist.
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\begin{itemize}
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\item $g(0) = f(0) - 0 \geq 0$
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\item $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$
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\end{itemize}
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Aus der Vorlesung kennen wir den Zwischenwertsatz, welcher besagt, dass $a \in [0,1]$ mit $g(a) = 0 \Rightarrow f(a) = a$ existiert.
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\item Geben Sie ein Beispiel einer stetigen Funktion $f: (0, 1) \rightarrow (0,1 )$ an, die keinen Fixpunkt besitzt.
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Beispiel: $f(x) = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$
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Diese Funktion ist auf $(0,1)$ stetig und für alle $x$ gilt: $f(x) > x$.
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Daher existiert kein $x$ mit $f(x) = x$.
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\end{enumerate}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Sei $D \subseteq \mathbb{R}, f: D \rightarrow$. Beweisen oder wiederlegen Sie
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Ist $f$ Lipschitz-stetig, so ist $f$ auch gleichmäßig stetig.
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\textbf{Wahr}.\\
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Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit, da $|f(x) - f(y)| \leq L |x - y|$ für alle $x,y \Rightarrow \varepsilon$-$\delta$-Kriterium gleichmäßig erfüllt.
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\item Ist $f$ gleichmäßig stetig, so ist $f$ auch Lipschitz-stetig.
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\textbf{Falsch.}\\
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\textit{Gegenbeispiel}: $f(x) = \sqrt{x}$ auf $[0,1]$ ist gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig (Ableitung wird unbeschränkt nahe $x = 0$).
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\item Ist $f$ stetig, so ist $f$ auch gleichmäßig stetig.
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\textbf{Falsch.}\\
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\textit{Gegenbeispiel}: $f(x) = \tan(x)$ auf $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig wegen Unbeschränktheit der Ableitung nahe den Randpunkten.
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\end{enumerate}
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\end{document}
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