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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.17}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 8}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{8}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Eine Geradengleichung $T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ist im Allgemeinen gegeben durch
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\[
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T(x) = ax + b
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\]
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mit Steigung $a \in \mathbb{R}$ und $y$-Achsenabschnitt $b$. Die Tangente einer differenzierbaren FUnktion $f$ an einer Stelle $x_0$ ist die Gerade, welche $f$ mit Steigung $f'(x_0)$ in $x_0$ berührt. Berechnen Sie die Tangenten der folgenden Funktionen in einem beliebigen Punkt $x_0 \in \mathbb{R}$:
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $f(x) = x^3$
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\item $f(x) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$
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\item $f(x) = x^x$
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\end{enumerate}
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\textit{Hinweis zu (c)}: Umschreiben mittels Exponentialfunktion
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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Gegeben sei die Sigmoid-Funktion:
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\[
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\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
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\]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Bestimmen Sie die Ableitung $\sigma'(x)$.\\\\
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\(\Rightarrow\sigma(x) = (1 + e^{-x})^{-1} \rightarrow\) Kettenregel\\
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Aus der Vorlsung wissen wir:\\
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Die Kettenregel ist wie folgt definiert: sei
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\[
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f(x) = g(h(x)) \rightarrow f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
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\]
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Somit mit den Teilfunktionen
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\[
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g(x) = x^{-1} \text{und} h(x) = (1 + e^{-x}) \text{dann} \sigma'(x) = -1 \cdot (1 + e^{-x})^{-2} \cdot (-e^{-x})
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\]
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\[
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\Rightarrow \sigma'(x) = \frac{(-e^{-x})}{-1 \cdot (1 + e^{-x})^{2}}
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\]
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\item Zeigen Sie, dass $\sigma$ der folgenden Gleichug genügt:
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\[
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\sigma'(x) = \sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x)) \quad \text{für alle} x \in \mathbb{R}.
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\]
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Wir leiten $\sigma(x)$ mit der Kettenregel ab. Schreibe zuerst:
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\[
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\sigma(x) = (1 + e^{-x})^{-1}.
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\]
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Dann gilt:
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\[
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\sigma'(x) = -1 \cdot (1 + e^{-x})^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + e^{-x}) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}.
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\]
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Andererseits gilt auch:
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\[
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\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \quad \Rightarrow \quad 1 - \sigma(x) = \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}.
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\]
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\[
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|
\sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x)) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \cdot \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}.
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\]
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Also gilt:
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\[
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\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x)) \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R}.
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\]
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\item Zeigen Sie, dass \(\quad 0 \leq \sigma(x) \leq 1 \quad \text{für alle} \quad x \in \mathbb{R}\)
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Da \( e^{-x} > 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), gilt:
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\[
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1 + e^{-x} > 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{1 + e^{-x}} < 1.
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\]
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Andererseits ist der Nenner stets positiv:
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\[
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1 + e^{-x} > 0 \quad \Rightarrow \quad \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} > 0.
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\]
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Somit:
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\[
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0 < \sigma(x) < 1 \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R}.
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\]
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Da der Grenzwert von \( \sigma(x) \) bei \( x \to -\infty \) gegen \( 0 \) und bei \( x \to \infty \) gegen \( 1 \) geht, ergibt sich:
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\[
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0 \leq \sigma(x) \leq 1 \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R}.
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\]
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\end{enumerate}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreffende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Jede Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$ für alle $x,y \in \mathbb{R}, x\neq y$, besitzt einen Fixpunkt.
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\begin{flushright}
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|
wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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|
\end{flushright}
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\item Ist eine Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ differenzierbar, so ist sie auch Lipschitz-stetig.
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|
\begin{flushright}
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|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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|
\end{flushright}
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\item Die Funktion $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$
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\[f(x) = \begin{cases}
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\sin \left(\frac{1}{x}\right), & x\neq 0\\
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0, & x=0\\
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\end{cases}\] ist stetig.
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|
\begin{flushright}
|
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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|
\end{flushright}
|
|
\item Die Funktion $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$
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\[f(x)=\begin{cases}
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x^2, & x\leq 0\\
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0, & 0\leq x\leq 1\\
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x-1, & 1\leq\\
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\end{cases}\]
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|
ist differenzierbar.
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|
\begin{flushright}
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|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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|
\end{flushright}
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\end{enumerate}
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit: Bestimmen Sie jeweils das maximale $n \in \mathbb{N}_0 \cup\{\infty\}$, sodass die gegebene Funktion n-mal differenzierbar ist und tragen Sie diese in das entsprechende Kästchen ein. Für beliebig oft differenzierbare Funktionen ist $n = \infty$, ist eine Funktion in mindestens einem $x \in \mathbb{R}$ nicht differenzierbar ist $n = 0$. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen $+0.5$ Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.\\\\
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\(f(x) = \left| x \right|^3\)\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[f \text{ ist n} = 3\text{-mal differenzierbar}\]
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}}\vspace*{2mm}
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\textcolor{gray}{kritische Stelle x = 0 $\rightarrow 3x^2 \rightarrow 6x \rightarrow 6$}\\\\
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\(f(x) =
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\begin{cases}
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1, & x \geq 0 \\
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|
0, & x < 0
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|
\end{cases}
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|
\)\\\\
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|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
|
\[f \text{ ist n} = \text{0-mal differenzierbar}\]
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|
}}\vspace*{2mm}
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\textcolor{gray}{Ist nicht stetig, kann also auch nicht differenziert werden.}\\\\
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\(f(x) =
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\begin{cases}
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x^2 \sin(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\
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|
1 - e^{1 - x}, & x = 0
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|
\end{cases}
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|
\)\\\\
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|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[f \text{ ist n} = 0\text{-mal differenzierbar}\]
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|
}}\vspace*{2mm}
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\textcolor{gray}{Ableitungen: $x^2 \cdot \sin(\frac{1}{x}) \rightarrow 2x \cdot \sin(\frac{1}{x}) -\cos(\frac{1}{x}) \rightarrow ...$ Die Trigonometrische Funktion wird nie verschwinden.\\Ebenso kann $1-e^{1 - x} \rightarrow e^{1 - x} \rightarrow -e^{1 - x}$. Ist alles aber eh irrelevant weil der Fall nur für $x = 0$ ist und $1 - e^{1 - 1}$ ist dann nicht mehr stetig.}\\\\
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|
\(f(x) =
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|
\begin{cases}
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|
\ln(x), & x \geq 1 \\
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|
1 - e^{1 - x}, & x < 1
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|
\end{cases}
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|
\)\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[f \text{ ist n} = 2\text{-mal differenzierbar}\]
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|
}}\vspace*{2mm}
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\textcolor{gray}{3. Ableitung nicht mehr stetig}\\
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\end{document} |