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vs/assignment2/main.tex
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@ -0,0 +1,252 @@
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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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||||
%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{pgfplots}
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\usepackage{pgfplotstable}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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||||
\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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||||
basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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||||
top=3cm, % Top margin
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||||
bottom=3cm, % Bottom margin
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||||
left=2.5cm, % Left margin
|
||||
right=2.5cm, % Right margin
|
||||
headheight=25pt, % Header height
|
||||
footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
|
||||
headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
|
||||
%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
|
||||
}
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||||
\lhead{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 2}
|
||||
\chead{\bfseries{Einführung in Verteilte Systeme\\Sommersemester 2025}}
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||||
\rhead{\vspace{0.5\baselineskip}Werner, 7987847}
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||||
\fancyheadoffset[R]{0cm}
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||||
\begin{document}
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||||
\setcounter{section}{2}
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||||
\subsection{}
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||||
Gehen Sie von einer näherungsweisen Darstellung eines Rechtecksignals als Fourier-Reihe aus:
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||||
\[f(t)= \frac{4}{\pi}\sum\limits^\infty_{k=1}\frac{sin((2k-1)t)}{2k-1}=\frac{4}{\pi}\sum\limits^\infty_{k=1}a_k sin((2k-1)t)\]
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||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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||||
\item Zeichnen Sie die Überlagerung entsprechend der Summe der Terme (für $k = 1, \dots , 4$)\\\\
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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||||
width=15cm,
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||||
height=6.5cm,
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||||
xlabel={$t$},
|
||||
ylabel={$f(t)$},
|
||||
grid=major,
|
||||
legend style={
|
||||
at={(0.98,0.98)},
|
||||
anchor=north east,
|
||||
draw=none,
|
||||
fill=none,
|
||||
font=\small
|
||||
},
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||||
domain=0:13,
|
||||
samples=400,
|
||||
thick,
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
ymin=-2, ymax=2,
|
||||
xtick={0,2,...,12},
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||||
ytick={-2,-1,0,1,2},
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||||
clip=true
|
||||
]
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||||
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||||
% Ungedämpftes Signal (New color: Teal)
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||||
\addplot[
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||||
teal,
|
||||
smooth
|
||||
]
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||||
{(4/pi)*((sin(deg(x)) + sin(deg(3*x))/3 + sin(deg(5*x))/5 + sin(deg(7*x))/7))};
|
||||
\addlegendentry{Ungefiltert}
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||||
|
||||
% Gedämpftes Signal (New color: Orange)
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||||
\addplot[
|
||||
orange,
|
||||
smooth
|
||||
]
|
||||
{(4/pi)*((sin(deg(x)) + 0.8*sin(deg(3*x))/3 + 0.6*sin(deg(5*x))/5 + 0.4*sin(deg(7*x))/7))};
|
||||
\addlegendentry{Gedämpft}
|
||||
|
||||
\end{axis}
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
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||||
\item Welche Frequenzen treten bei diesem Rechtecksignal auf, wenn man wieder die Terme für $k = 1, \dots , 4$ berücksichtigt?\\\\
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||||
Der Term (2k - 1) bestimmt die Frequenzen. Diese sind:
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\begin{itemize}
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\item $\frac{1}{2\pi}$
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||||
\item $\frac{3}{2\pi}$
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||||
\item $\frac{5}{2\pi}$
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||||
\item $\frac{7}{2\pi}$
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||||
\end{itemize}
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||||
\item Warum wird man ein perfektes Rechtecksignal in der Praxis nie erzeugen können?\\\\
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||||
Ist unmóglich weil in der Parxis müssten die Flaken unendlich schnell und die Frequenzen unendlich hoch sein. Außerdem müssen die Frequenzen unendlich genau und konsistent sein. Demnach nicht möglich.
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||||
\item Bei der Übertragung eines Funksignals über einen Kanal werden verschiedene Frequenzen unterschiedlich stark gedämpft. Gehen Sie von einer stärkeren Dämpfung bei höheren Frequenzen aus, entsprechend $a'_2 = 0.8 a_2,\, a'_3 = 0.6 a_3$ und $a'_4 = 0.4 a_4$, mit obigen Fourierkoeffizienten $a_k$. Wie wirkt sich dies auf die Form des Signals aus?\\\\
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||||
Durch das Glätten wird die Kurve geglättet, also Steigungsunterschiede werden weniger rasant. Die Kurve ähnelt dadurch mehr einer Sinuskurve.
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||||
\end{enumerate}
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\subsection{}
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||||
In der folgenden Graphik ist ein kontinuierliches Zeitsignal mit Periodendauer $T = 1/f$ gegeben.\\\\
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||||
Beim Sampling im Zuge der Digitalisierung dieses Signals sollen verschiedene Abtastfrequenzen $f_S$ untersucht und deren Ergebnisse gezeichnet werden. Die Signalabtastung soll jeweils beim
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||||
Zeitnullpunkt beginnen.\\\\
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\begin{axis}[
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||||
width=14cm,
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||||
height=7cm,
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||||
xlabel={$t/\mathrm{s}$},
|
||||
ylabel={$x$},
|
||||
domain=0:12.5,
|
||||
samples=200,
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
ymin=-1.3, ymax=1.3,
|
||||
xmin=0, xmax=12.5,
|
||||
grid=major,
|
||||
grid style={dashed, gray!50},
|
||||
ytick={-1, -0.5, 0, 0.5, 1},
|
||||
extra y ticks={-1, -0.5, 0, 0.5, 1},
|
||||
extra y tick style={grid style={dashed, gray!70}},
|
||||
thick,
|
||||
legend style={
|
||||
at={(0.98,0.98)},
|
||||
anchor=north east,
|
||||
draw=none,
|
||||
fill=none,
|
||||
font=\footnotesize,
|
||||
legend cell align=left
|
||||
}
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||||
]
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||||
% Cosine wave (original)
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\addplot[blue!70!black, thick] {cos(deg(x))};
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||||
\addlegendentry{$\cos(x)$}
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||||
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||||
% Constant line
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||||
\addplot[orange!80!black, dashed] {1};
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||||
\addlegendentry{$f_S = f$}
|
||||
|
||||
% Slower cosine
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||||
\addplot[cyan!60!black, dashdotted, thick] {cos(deg(0.33*x))};
|
||||
\addlegendentry{$\cos(0.33x)$}
|
||||
|
||||
% Cosine sampled at 2f
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||||
\addplot[orange, dotted, thick] {cos(deg(x))};
|
||||
\addlegendentry{$f_S = 2f$}
|
||||
|
||||
% Cosine sampled at 4f
|
||||
\addplot[red!70!black, loosely dotted] {cos(deg(x))};
|
||||
\addlegendentry{$f_S = 4f$}
|
||||
|
||||
% Sampled points (3 different sets)
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||||
\addplot[
|
||||
only marks,
|
||||
mark=*,
|
||||
mark size=3pt,
|
||||
cyan!80!black
|
||||
]
|
||||
table {
|
||||
0 1
|
||||
4.71 0
|
||||
9.42 -1
|
||||
};
|
||||
|
||||
\addplot[
|
||||
only marks,
|
||||
mark=*,
|
||||
mark size=3pt,
|
||||
orange!80!black,
|
||||
]
|
||||
table {
|
||||
0.0 1
|
||||
6.28 1
|
||||
12.56 1
|
||||
};
|
||||
|
||||
\addplot[
|
||||
only marks,
|
||||
mark=*,
|
||||
mark size=2pt,
|
||||
orange,
|
||||
]
|
||||
table {
|
||||
0.0 1
|
||||
3.14 -1
|
||||
6.28 1
|
||||
9.42 -1
|
||||
12.56 1
|
||||
};
|
||||
|
||||
\addplot[
|
||||
only marks,
|
||||
mark=*,
|
||||
mark size=1pt,
|
||||
red!70!black,
|
||||
]
|
||||
table {
|
||||
0.0 1
|
||||
1.57 0
|
||||
3.14 -1
|
||||
4.71 0
|
||||
6.28 1
|
||||
7.85 0
|
||||
9.42 -1
|
||||
10.99 0
|
||||
12.56 1
|
||||
};
|
||||
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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||||
\item Überführen Sie das Orignalsignal jeweils in eine diskrete Form bei einer Abtastrate von
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\begin{itemize}
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\item $f_S=f=1$
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\item $f_S=\frac{4}{3}f=cos(\frac{x}{}x)$
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\item $f_S=2f=cos(x)$
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||||
\item $f_S=4f=cos(x)$
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\end{itemize}
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Geben Sie die Ergebnisse numerisch und graphisch an.\\\\
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||||
Die Funktionen sind im Graphen überführt.\\
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||||
\item Formulieren Sie das Theorem von Shannon für die Abtastung eines Signals in ein bis zwei Sätzen.\\\\
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||||
Ein kontinuierliches Signal mit maximaler Frequenz $f_{max}$ kann verlustfrei rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz $f_s$ mindestens das Doppelte von $f_{max}$ beträgt.
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{document}
|
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