added annuma assignments 1-8

annuma/assignment4/main.tex

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+\documentclass[a4paper]{article}
+%\usepackage[singlespacing]{setspace}
+\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
+%\usepackage[doublespacing]{setspace}
+\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
+\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{colortbl}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{float}
+\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
+\usepackage{tikz-qtree}
+\usepackage{forest}
+\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
+\pagestyle{fancy}
+\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
+\renewcommand{\headrule}{
+    \makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}} 
+}
+\usepackage{amsmath}
+\pagestyle{fancy}
+\usepackage{diagbox}
+\usepackage{xfrac}
+
+\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
+
+\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
+
+\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
+
+\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
+\lstset{
+	basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
+}
+
+\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
+
+\geometry{
+	paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
+	top=3cm, % Top margin
+	bottom=3cm, % Bottom margin
+	left=2.5cm, % Left margin
+	right=2.5cm, % Right margin
+	headheight=25pt, % Header height
+	footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
+	headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
+	%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
+}
+\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
+\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 4}}
+\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
+\fancyheadoffset[R]{0cm}
+
+\begin{document}
+\setcounter{section}{4}
+\subsection{Votieraufgabe}
+Zeigen Sie
+\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
+    \item Für $|q| < 1$ gilt $\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$.
+    \item Für $q > 1$ gilt $\lim\limits_{n\to\infty}q^n = \infty$.
+    \item Für $q\leq -1$ divergiert $q^n$ unbestimmt.
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Multiple Choice}
+Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.\\
+Seien $(a_n)n, (b_n)n \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen.
+\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
+    \item Die Reihe
+    \[\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\]
+    konvergiert absolut.
+    \begin{flushright}
+        wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
+    \end{flushright}
+    \textcolor{gray}{Die Folge ist zwar konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, da $\sum\limits^\infty_{n=0}|a_n|$ nicht konvergiert.}
+    \item Sei die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergent und $a_n\leq b_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Dann ist auch die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ konvergent.
+    \begin{flushright}
+        wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
+    \end{flushright}
+    \textcolor{gray}{$a_n$ ist nur nach oben beschränkt, deshalb ist die Konvergenz nicht gegeben.}
+    \item Sei die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergent und $|a_n|\leq |b_n|$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Dann ist auch die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ konvergent.
+    \begin{flushright}
+        wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
+    \end{flushright}
+    \textcolor{gray}{Da durch den Betrag von $a_n$ gilt $0\leq |a_n|\leq b_n$ $a_n$ durch die x-Achse begrenzt ist, wissen wir, dass die Reihe konvergent ist.}
+    \item Sei die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergent und $|a_n|\leq b_n$ für alle $n\geq 100$. Dann sind die Reihen $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ und $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ absolut konvergent.
+    \begin{flushright}
+        wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
+    \end{flushright}
+    \textcolor{gray}{$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ ist absolut konvergent, weil $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergiert und $|a_n|\leq b_n$ gilt. Konvergiert der Betrag einer Folge gilt sie als absolut konvergent. $b_n$ ist durch den Betrag von $a_n$ nach unten beschränkt und damit immer $\geq 0$ und somit auch absolut konvergent.}
+\end{enumerate}
+\subsection{Rechenaufgabe}
+Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und tragen Sie diese in die Kästchen ein. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.\\\\
+\fbox{\parbox{\linewidth}{
+\[\sum\limits^\infty_{k=1}\left(-\frac{1}{3}\right)^k=-\frac{1}{4}\]
+}}\vspace*{5mm}
+\fbox{\parbox{\linewidth}{
+\[\sum\limits^\infty_{k=5}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k+1}=\frac{1}{6}\]
+}}\vspace*{5mm}
+\fbox{\parbox{\linewidth}{
+\[\sum\limits^\infty_{k=1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)=0\]
+}}\vspace*{5mm}
+\fbox{\parbox{\linewidth}{
+\[\sum\limits^\infty_{k=1}\left(-\frac{1}{3}\right)^k=-\frac{1}{4}\]
+}}\vspace*{5mm}
+\textit{Hinweis:} Vergewissern Sie sich zunächst, dass
+\[\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4k+2}-\frac{1}{4k+4}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right).\]
+\subsection{Schriftliche Aufgabe}
+Sei $x>0$ fest. Zeigen Sie, dass die Folge
+\[a_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\quad \text{ für } n\in\mathbb{N}\]
+monoton steigend und beschränkt ist.\\
+\textit{Hinweis:} Zeigen Sie zunächst, dass $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ für alle $n\in\mathbb{N}$.
+\end{document}