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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 1}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{1}
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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Zeigen Sie, dass die Zahl $\sqrt[k]{2}$ für alle natürlichen Zahlen $k \geq 2$ irrational ist.\\\\
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Wir definieren: \(\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\)\\
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Wir wissen: \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\) und \(a^{m^n}=a^{m\cdot n}\)\\
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Generelles Konzept: \(\sqrt[k]{2}=2^\frac{1}{k}\)\\
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\hspace*{3,56cm}\(k=2: 2^\frac{1}{2} \in \mathbb{I}\)\\
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\hspace*{3,56cm}\(k=3: 2^\frac{1}{3}=2^\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^\frac{1}{6}}=2^\frac{1}{2}\cdot 2^6\)\\\\
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\textcolor{gray}{$2^\frac{1}{2} \in \mathbb{I}$ (irrational) \& $2^6 \in \mathbb{R}$ (rational) $\Rightarrow \mathbb{I} \cdot \mathbb{R}=\mathbb{I}$ (mit einem Ausnahmefall)}\\\\
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Daher gilt allgemein:\\
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$\sqrt[k]{2} = 2^\frac{1}{2} \cdot i \quad, i \in \mathbb{R}\quad$ Ob $i$ in diesem Fall rational oder irrational ist, ist egal, weil $\mathbb{I} \cdot \mathbb{R} = \mathbb{I}$\\\\
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Folgender Randfall muss jedoch betrachtet werden:\\
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Für denn Fall, dass $i = 2^\frac{1}{2}$ gilt, wäre dann $2^\frac{1}{2} \cdot 2^\frac{1}{2} = (2^\frac{1}{2})^2 = 2 \notin \mathbb{I}$\\
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Hier wird aber sichtbar, dass dieser Fall für $n \geq 2$ nicht eintreten kann:\\
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$2^1 \overset{!}{=} \sqrt[k]{2} \quad \Rightarrow k = 1$\\
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Dieser Fall kann somit nicht erreicht werden. \qed
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\bigskip
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\subsection{Votieraufgabe}
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Zeigen Sie die folgenden Aussagen mit natürlicher Induktion.\\
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $\sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2} \quad \forall n \in \mathbb{N}$\\\\
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\textbf{Induktionsanfang:} $n=1$: $\sum\limits^1_{k=1}k=1$ und $\frac{1(1+1)}{2}=1$. \checkmark\\
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\textbf{Induktionsschritt:} $n \mapsto n+1$:
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\begin{itemize}
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\item Wir gehen davon aus, dass $\sum\limits^n_{k=1}=\frac{n(n+1)}{2}$ gilt.
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\item \(\sum\limits^{n+1}_{k=1}k=\sum\limits^n_{k=1}k+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n^2+n+2n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\) und das war zu zeigen. \checkmark
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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(b) Den binomischen Lehrsatz:
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\[
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(x + y)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k} \quad \forall x,y \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}
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\]
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Induktionsanfang ($n = 1$):\\
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\[
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(a + b)^0 = 1 \quad\text{und}\quad \sum_{k=0}^{0} \binom{0}{k} a^{0-k} b^k = \binom{0}{0} a^0 b^0 = 1
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\]
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Induktionsvorraussetzung:\\
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\[
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(x + y)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k} \quad \forall x,y \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}
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\]
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Induktionsschritt ($n \Rightarrow n + 1$):\\
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\[
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(x + y)^{n + 1} = \sum\limits_{k=0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} x^ky^{n + 1 -k}
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\]
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\[
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(x+y)^n (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} x^ky^{n + 1 -k}
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\]
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\[
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\left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} x^ky^{n + 1 -k}
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\]
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\[
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\left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n + 1}{k} x^ky^{n + 1 -k}
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\]
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\[
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\left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \left( \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \right) x^k y^{n+1-k}
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\]
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\[
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\left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k} x^k y^{n+1-k} + \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1} x^k y^{n+1-k}
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\]
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Zwischenschritt:
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\[
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\sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1} x^k y^{n+1-k} = \sum\limits_{k'=-1}^{n} \binom{n}{k'} x^{k'+1} y^{n-k'}
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\]
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\[
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\left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k+1} y^{n-k}
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\]
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\[
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\left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n+1-k} + \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k+1} y^{n-k}
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\]
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\[
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\left( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} \right) (x+y) = (x+y) \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}
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\]
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\[
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1 = 1
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\] \qed
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreffende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen\\
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+0.5 Punkte, falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.\\\\
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(a) \(\sum\limits^n_{k=0}\binom{n}{k}=2^n\quad \forall n \in \mathbb{N}\).\\\\
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wahr $\quad \boxtimes\quad\quad$ falsch $\quad \square$\\\\
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(b) \(\sum\limits^n_{k=0} (-1)^k\binom{n}{k} = 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}\).\\\\
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wahr $\quad \boxtimes\quad\quad$ falsch $\quad \square$\\\\
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(c) Erfüllt eine reelle Folge $a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$ für alle $n \geq 2$ und $a_1 = 1$, so ist $(a_n)_{n\in N}$ die Fibonacci Folge.\\\\
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wahr $\quad \square\quad\quad$ falsch $\quad \boxtimes$\\\\
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(d) Erfüllt eine reelle Folge $a_{n+1} = \frac{n}{n+1}a_n$ für alle $n \geq 2$ und $a_1 = 1$, so ist $(a_n)_{n\in N}$ die harmonische Folge.\\\\
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wahr $\quad \boxtimes\quad\quad$ falsch $\quad \square$
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Formulieren Sie für die rekursiven Folgen eine geschlossene Form und tragen Sie diese in das entsprechende Kästchen ein. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.
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\begin{enumerate}
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\item $a_1 = 2$ und $a_{n+1} = a_n + 2$ für alle $n \in \mathbb{N}$\\
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\textcolor{gray}{$a_2=a_{1+1}=2+2=4=a_2$}\\
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\textcolor{gray}{$a_3=a_{2+1}=4+2=6=a_3$}\\
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\textcolor{gray}{$a_4=a_{3+1}=6+2=8=a_4$}\\
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\textcolor{gray}{\dots}\\
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\(a_n=2n\)
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\item $a_1 = 1$ und $a_{n+1} = a_n + 2$ für alle $n \in \mathbb{N}$\\
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\textcolor{gray}{$a_2=a_{1+1}=1+2=3$}\\
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\textcolor{gray}{$a_3=a_{2+1}=3+2=5$}\\
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\textcolor{gray}{$a_4=a_{3+1}=5+2=7$}\\
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\textcolor{gray}{\dots}\\
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\(a_n=2n-1\)
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\item $a_1 = 1$ und $a_{n+1} = na_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$\\
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\textcolor{gray}{$a_2=a_{1+1}=1\cdot 1=1$}\\
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\textcolor{gray}{$a_3=a_{2+1}=2\cdot 1=2$}\\
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\textcolor{gray}{$a_4=a_{3+1}=3\cdot 2=6$}\\
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\textcolor{gray}{$a_5=a_{4+1}=4\cdot 6=24$}\\
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\textcolor{gray}{\dots}\\
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\(a_n=(n-1)!\)
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\item $a_1 = 1$ und $a_{n+1} = a_n + (n + 1)$ für alle $n \in \mathbb{N}$\\
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\textcolor{gray}{$a_2=a_{1+1}=1+(1+1)=3$}\\
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\textcolor{gray}{$a_3=a_{2+1}=3+(2+1)=6$}\\
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\textcolor{gray}{$a_4=a_{3+1}=6+(3+1)=10$}\\
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\textcolor{gray}{$a_5=a_{4+1}=10+(4+1)=15$}\\
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|
\textcolor{gray}{\dots}\\
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\(a_n=\sum\limits^n_{i=1}i=\frac{n\cdot (n+1)}{2}\)
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|
\end{enumerate}
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\end{document}
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125
annuma/assignment2/main.tex
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annuma/assignment2/main.tex
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@ -0,0 +1,125 @@
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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 2}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{2}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreffende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkt. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.
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\bigskip
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\noindent Seien $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}},(c_n)_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Sei $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathbb{N}$ eine Folge mit ausschließlich natürlichen Folgegliedern. Falls $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiert, ist $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ bereits konstant. \begin{flushright} wahr $\boxtimes \quad$ falsch $\square$ \end{flushright}
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\textcolor{gray}{Da alle Folgenglieder nach Aufgabenstellung natürliche Zahlen seien müssen und die Folge gegen einen Wert konvergiert, wissen wir, dass die Folge konstant sein muss. Man kann sich mit natürlichen Zahlen keinem Grenzwert annähern, ohne diesen auch in einer endlichen Anzahl an Schritten zu erreichen.}
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\item Seien $c \in \mathbb{R}$ und $a_n\leq b_n\leq c_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Es gilt:
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\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n= \lim\limits_{n\to\infty}c_n=c. \text{ Dann folgt } \lim\limits_{n\to\infty}b_n=c.\]\begin{flushright} wahr $\boxtimes \quad$ falsch $\square$ \end{flushright}
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\textcolor{gray}{Sandwichkriterium bei Reihen kann analog verwendet werden}
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\item Konvergiert die Summe der Folgen $(a_n+b_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$, dann konvergieren auch die Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ und $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$\begin{flushright} wahr $\square \quad$ falsch $\boxtimes$ \end{flushright} \textcolor{gray}{Für $a_=n$ und $b_n=-n$ konvergiert die Summe bei 0, die Folgen selber divergieren jedoch.}
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|
\item Falls $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ nicht konvergiert, dann ist $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ nicht beschränkt.\begin{flushright} wahr $\square \quad$ falsch $\boxtimes$ \end{flushright}
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|
\textcolor{gray}{Für $a_n=(-1)^n$ (oder jede alternierende Folge bei der gilt $a_n = a_{n+2}$) ist dieses Kriterium nicht erfüllt.}
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\end{enumerate}
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|
\subsection{Votieraufgabe}
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Zeigen Sie
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}\frac{1}{k(k+1)}=1$.
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\bigskip
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\item $\sum\limits^n_{k=1}k\cdot \binom{n}{k}=n\cdot 2^{n-1}, \forall n\in \mathbb{N}$.
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||||||
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\bigskip
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|
\item $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}k\cdot \binom{n}{k}=\infty$.
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\bigskip
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|
\item $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}\frac{k}{n^2}=\frac{1}{2}, \forall n\in\mathbb{N}$.
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\bigskip
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|
\end{enumerate}
|
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\subsection{Rechenaufgabe}
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||||||
|
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz. Tragen Sie die Grenzwerte ein. Im Falle der Divergenz schreiben Sie NaN in das entsprechende Kästchen. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.
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\bigskip
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\begin{enumerate}
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\item $a_n=\sqrt{n}$\\
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$\lim\limits_{n\to\infty}a_n= \infty$ (\textbf{NaN})\\
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$\sqrt{n+1}>\sqrt{n} \Rightarrow a_{n+1}>a_n \rightarrow$ streng monoton steigend
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\bigskip
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\item $b_{n+2}=b_{n+1}+b_n$ mit $b_1=b_2=1$\\
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$\lim\limits_{n\to\infty}n_n=\infty$ (\textbf{NaN})\\
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$b_{n+1}+b_n > b_{n+1} \Rightarrow b_{n+2}\geq b_{n+1} \Rightarrow $ monoton steigend\\
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\textcolor{gray}{\textit{\textbf{Verständnisfrage}: Dürfen wir hier mit $b_{n+2}$ und $b_{n+1}$ begründen, weil wir fangen die Fibonacci-Folge ja eigentlich bei $n=1$ an und $min\{n+2\}$ ist nicht mehr im Basisfall $b_1=b_2=1$ enthalten. Damit würde bei dieser Begründung ja eigentlich $b_{n+2}>b_{n+1}$ gelten und die Folge wäre streng monoton wachsend? Reicht es, dass wir begründen können, dass bei $b_1=b_2=1$ keine Steigung vorliegt und die Folge deshalb nicht streng monoton sondern nur monoton wächst?}}
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\bigskip
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\item $c_n=\frac{1}{10^n}$\\
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$\lim\limits_{n\to\infty}c_n=$ \textbf{0}\\
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\textcolor{gray}{Abwandlung der harmonischen Folge, die laut Definition immer gegen 0 konvergiert}
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\bigskip
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\item $d_n=(-1)^n\cdot \frac{1}{n^2}$\\
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$\lim\limits_{n\to\infty}d_n=$ \textbf{0}\\
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\textcolor{gray}{Konstrukt aus einer alternierenden Folge ($(-1)^n$) und einer eindeutig konvergierenden Folge $\left(\frac{1}{n^2} = \left( \frac{1}{n} \right)^2\right)$ welche wieder eine Abwandlung der harmonischen Folge ist, ergibt eine alternierende konvergierende Folge.}
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\end{enumerate}
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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Seien $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}}, \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen. Zeigen Sie folgende Aussagen:
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Sei $a_n\neq 0$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a \neq 0 \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a}$.\\
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Aus der Vorlesung wissen wir:\\
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$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a}{b} = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} a}{\lim\limits_{n \to \infty} b}$\\
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Demnach gilt:\\
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$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = \frac{\lim\limits_{n \to \infty} 1}{\lim\limits_{n \to \infty} a_n} = \frac{1}{a}$
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\bigskip
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\item $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty$ und $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b>0, \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=\infty$.\\
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$\infty$ ist nur dann nicht mehr unendlich, wenn es mit $\frac{1}{\infty}$ oder 0 multipliziert wird.\\
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Es gilt: $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$ und $\frac{1}{0} \notin \mathbb{R}$.\\
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Aus $\lim\limits b_n=b>0$ und $(b_n) \subset \mathbb{R}$ können wir also schließen, dass $\lim\limits_{n\to\infty}a_n b_n=\infty$.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{document}
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139
annuma/assignment3/main.tex
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annuma/assignment3/main.tex
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@ -0,0 +1,139 @@
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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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|
\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 3}}
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|
\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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|
\fancyheadoffset[R]{0cm}
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|
\begin{document}
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\setcounter{section}{3}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreffende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Jede konvergente reelle Folge ist bereits eine Cauchy-Folge. \begin{flushright} wahr $\square \quad$ falsch $\boxtimes$ \end{flushright}
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\item Seien $a \in \mathbb{R}$ und $(a_n)_n \in \mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ eine reelle Folge. Seien des Weiteren die Teilfolgen $(a_{3n})_n \in \mathbb{N}$, $(a_{3n+1})_n \in \mathbb{N}$, $(a_{3n+2})_n \in \mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ konvergent mit
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\[
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\lim\limits_{n \to \infty} a_{3n} = \lim\limits_{n \to \infty} a_{3n + 1} = \lim\limits_{n \to \infty} a_{3n + 2} = a
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\]
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||||||
|
Dann konvergiert $(a_n)_n \in \mathbb{N}$ gegen a.
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\begin{flushright} wahr $\boxtimes \quad$ falsch $\square$ \end{flushright}
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||||||
|
\item Seien $(a_n)_n \in \mathbb{N}$, $(b_n)_n \in N \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen mit $c_n := a_n + b_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Dann gilt
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||||||
|
\[
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||||||
|
sup\{c_n : n \in \mathbb{N}\} = sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\} + sup\{b_n : n \in \mathbb{N}\}.
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||||||
|
\]
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||||||
|
\begin{flushright} wahr $\square \quad$ falsch $\boxtimes$ \end{flushright}
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||||||
|
\item Seien $(a_n)_n \in \mathbb{N}$, $(b_n)_n \in N \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen mit $c_n := a_n - b_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Dann gilt
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||||||
|
\[
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||||||
|
sup\{c_n : n \in \mathbb{N}\} \leq sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\} - inf\{b_n : n \in \mathbb{N}\}.
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||||||
|
\]
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||||||
|
\begin{flushright} wahr $\boxtimes \quad$ falsch $\boxtimes$ \end{flushright}
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|
\end{enumerate}
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\bigskip
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Zeigen Sie durch Verwendung von Defnition und Satz 1.19, dass die Folge
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\[
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|
a_{n+1} = \frac{1}{2} \left(a_n + \frac{2}{a_n} \right) \text{ mit } a_1 = 1
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\]
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||||||
|
konvergiert und berechnen Sie dann mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte $\lim\limits_{n \to \infty}$.\\\\
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||||||
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Laut dem Satz 1.19 aus dem Skript gilt $a_{n + 1} \leq a_n$ und wenn die Folge ins positive konvergiert, ist sie begrenzt:\\
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\[
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||||||
|
a_{n + 1} \leq a_n
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||||||
|
\]
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||||||
|
\[
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||||||
|
\frac{1}{2}\left(a_n + \frac{2}{a_n}\right) \leq a_n
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||||||
|
\]
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||||||
|
\[
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||||||
|
a_n + \frac{2}{a_n} \leq 2a_n
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||||||
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\]
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||||||
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\[
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||||||
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\frac{2}{a_n} \leq a_n
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|
\]
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||||||
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\[
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||||||
|
2 \leq a_n^2
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\]
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|
\[
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||||||
|
\sqrt{2} \leq a_n
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\]
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Somit ist klar, dass die Folge gegen $\sqrt{2}$ konvergiert für $n \to \infty$ und von $> \sqrt{2}$ nach $\sqrt{2}$. Die Folge ist daher monoton fallend.
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|
\item Auf Aufgabenblatt 1 haben Sie gezeigt, dass $\sqrt{2}$ eine irrationale Zahl ist, ohne ihre Existenz zu beweisen. Zeigen Sie, dass es eine reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ gibt mit $x^2 = 2$.\\\\
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||||||
|
Die Folge $a_n$ konvergiert gegen $\sqrt{2}$ (also für $n = \infty \to a_n = \sqrt{2}$) und daher existiert ein $x \in \mathbb{R}$ mit $x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$.
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|
\end{enumerate}
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\bigskip
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Bestimmen Sie für die Menge
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\[
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M = \left\{ \frac{1}{m} + \frac{1}{3^n} : m, n \in \mathbb{N} \right\}
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|
\]
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||||||
|
das Supremum, Infmum, Maximum und Minimum, sofern jeweils existierend. Tragen Sie das Endergebnis in die Kästen ein. Im Falle der Nicht-Existenz schreiben Sie NaN in das entsprechende Kästchen. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an.\\
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\begin{itemize}
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|
\item $sup M = \frac{4}{3}$
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|
\item $max M = \frac{4}{3}$
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\item $inf M = 0$
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|
\item $min M = NaN$
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||||||
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\end{itemize}
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\bigskip
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\subsection{Votieraufgabe}
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Es seien A, B nicht leere, beschränkte Teilmengen von R und $A + B := \{a + b : a \in A, b \in B\}$ ihre (elementweise) Summe. Zeigen Sie: A + B ist beschränkt, und es gilt
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||||||
|
\[
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||||||
|
sup(A + B) = sup A + sup B,
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||||||
|
\]
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||||||
|
\[
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||||||
|
inf(A + B) = inf A + inf B.
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||||||
|
\]
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||||||
|
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|
\end{document}
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118
annuma/assignment4/main.tex
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@ -0,0 +1,118 @@
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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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bottom=3cm, % Bottom margin
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right=2.5cm, % Right margin
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|
%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 4}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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|
\fancyheadoffset[R]{0cm}
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|
\begin{document}
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\setcounter{section}{4}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Zeigen Sie
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\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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|
\item Für $|q| < 1$ gilt $\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$.
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||||||
|
\item Für $q > 1$ gilt $\lim\limits_{n\to\infty}q^n = \infty$.
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||||||
|
\item Für $q\leq -1$ divergiert $q^n$ unbestimmt.
|
||||||
|
\end{enumerate}
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||||||
|
|
||||||
|
\subsection{Multiple Choice}
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|
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.\\
|
||||||
|
Seien $(a_n)n, (b_n)n \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen.
|
||||||
|
\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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|
\item Die Reihe
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||||||
|
\[\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\]
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||||||
|
konvergiert absolut.
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|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
|
||||||
|
\end{flushright}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{Die Folge ist zwar konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, da $\sum\limits^\infty_{n=0}|a_n|$ nicht konvergiert.}
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||||||
|
\item Sei die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergent und $a_n\leq b_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Dann ist auch die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ konvergent.
|
||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
|
||||||
|
\end{flushright}
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||||||
|
\textcolor{gray}{$a_n$ ist nur nach oben beschränkt, deshalb ist die Konvergenz nicht gegeben.}
|
||||||
|
\item Sei die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergent und $|a_n|\leq |b_n|$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Dann ist auch die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ konvergent.
|
||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
|
||||||
|
\end{flushright}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{Da durch den Betrag von $a_n$ gilt $0\leq |a_n|\leq b_n$ $a_n$ durch die x-Achse begrenzt ist, wissen wir, dass die Reihe konvergent ist.}
|
||||||
|
\item Sei die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergent und $|a_n|\leq b_n$ für alle $n\geq 100$. Dann sind die Reihen $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ und $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ absolut konvergent.
|
||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
|
||||||
|
\end{flushright}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ ist absolut konvergent, weil $\sum\limits^\infty_{n=0}b_n$ konvergiert und $|a_n|\leq b_n$ gilt. Konvergiert der Betrag einer Folge gilt sie als absolut konvergent. $b_n$ ist durch den Betrag von $a_n$ nach unten beschränkt und damit immer $\geq 0$ und somit auch absolut konvergent.}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\subsection{Rechenaufgabe}
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||||||
|
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und tragen Sie diese in die Kästchen ein. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.\\\\
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||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[\sum\limits^\infty_{k=1}\left(-\frac{1}{3}\right)^k=-\frac{1}{4}\]
|
||||||
|
}}\vspace*{5mm}
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[\sum\limits^\infty_{k=5}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k+1}=\frac{1}{6}\]
|
||||||
|
}}\vspace*{5mm}
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[\sum\limits^\infty_{k=1}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)=0\]
|
||||||
|
}}\vspace*{5mm}
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[\sum\limits^\infty_{k=1}\left(-\frac{1}{3}\right)^k=-\frac{1}{4}\]
|
||||||
|
}}\vspace*{5mm}
|
||||||
|
\textit{Hinweis:} Vergewissern Sie sich zunächst, dass
|
||||||
|
\[\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4k+2}-\frac{1}{4k+4}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right).\]
|
||||||
|
\subsection{Schriftliche Aufgabe}
|
||||||
|
Sei $x>0$ fest. Zeigen Sie, dass die Folge
|
||||||
|
\[a_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\quad \text{ für } n\in\mathbb{N}\]
|
||||||
|
monoton steigend und beschränkt ist.\\
|
||||||
|
\textit{Hinweis:} Zeigen Sie zunächst, dass $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ für alle $n\in\mathbb{N}$.
|
||||||
|
\end{document}
|
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241
annuma/assignment5/main.tex
Normal file
241
annuma/assignment5/main.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,241 @@
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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.17}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
|
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top=3cm, % Top margin
|
||||||
|
bottom=3cm, % Bottom margin
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||||||
|
left=2.5cm, % Left margin
|
||||||
|
right=2.5cm, % Right margin
|
||||||
|
headheight=25pt, % Header height
|
||||||
|
footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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|
headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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|
%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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|
\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 5}}
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|
\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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|
\fancyheadoffset[R]{0cm}
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|
\begin{document}
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\setcounter{section}{5}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Sei $a_n)_n \subset \mathbb{R}$ eine reelle Folge.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Zeigen Sie, dass wenn
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\[\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L<1,\]
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dann konvergiert die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ absolut.
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\item Geben Sie ein Beispiel für $L = 1$ an, sodass die Reihe $\sum\limits^\infty_{n=0}a_n$ an nicht konvergiert.
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\end{enumerate}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.\\
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Seien $(a_n)_n, (b_n)_n, (c_n)_n, (d_n)_n \subset \mathbb{R}$ reelle Folgen.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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|
\item Falls $(a_n)_n$ eine Nullfolge ist, so konvergiert für jede beliebige Folge $(b_n)_n$ mit $b_n > nb_{n+1} + a_n$ das Produkt $(a_nb_n)_n \subset \mathbb{R}$.
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\begin{flushright}
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wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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\end{flushright}
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\item Sei $a_n \in O(c_n)$ und $b_n \in O(d_n)$ für $n\to\infty$. Dann gilt:
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\[(a_n+b_n)\in O(c_n+d_n)\quad \text{ für } n\to\infty\]
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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\end{flushright}
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||||||
|
\item Für $(a_n) \in O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ ist $(a_n)\in o\left(\frac{1}{n}\right)$ für $n\to\infty$.
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\begin{flushright}
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||||||
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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||||||
|
\end{flushright}
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||||||
|
\item Für $(a_n) \in o\left(\frac{1}{n}\right)$ ist $(a_n) \in O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ für $n\to\infty$. \begin{flushright}
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||||||
|
wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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\end{flushright}
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|
\end{enumerate}
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Ein - zugegeben etwas primitiver - Rechner stellt reelle Zahlen im Gleitkommaformat mit einem Byte dar. Bei der (nomarlisierten) Zahlendarstellung werden 1 Bit für das Vorzeichen, 4 Bits für die Mantisse und 3 Bits für den Exponenten bei einem Bias von 3 verwendet. Bestimmen Sie die Gleitkommadarstellung
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\[(-1)^S(1+M\cdot 2^{-4})2^{E-3}\]
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der Zahlen und tragen Sie diese in \textbf{Binärdarstellung} in das entsprechende Kästchen. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[-1 = \frac{1|0000|011}{S\quad M\quad E\quad}\]
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}}\vspace*{5mm}
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[0.125 = \frac{0|0000|000}{S\quad M\quad E\quad}\]
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||||||
|
}}\vspace*{5mm}
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||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
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||||||
|
\[2.5 = \frac{0|0100|100}{S\quad M\quad E\quad}\]
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||||||
|
}}\vspace*{5mm}
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||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
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||||||
|
\[-1.25 = \frac{1|0100|011}{S\quad M\quad E\quad}\]
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||||||
|
}}\vspace*{5mm}
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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Unser Ein-Byte-Rechner soll weiterhin mit 1 Bit für das Vorzeichen, 4 Bits für die Mantisse und 3 Bits für den Exponenten bei einem Bias von 3 ausgestattet sein.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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|
\item Wie viele verschiedene Zahlen können in diesem Gleitkomma-Format dargestellt werden?\\
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Es können $2^8 = 256$ verschiedene Zahlen dargestellt werden
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\item Geben sie $x_{max}$, $x_{min}$, sowie das betragliche Minimum $x_{minabs}$ an.\\
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$x_{max}=31$\\
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$x_{min}=-31$\\
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$x_{minabs}=0,125$
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|
\item Skizzieren (bzw. plotten) sie alle darstellbaren Zahlen auf einer Zahlengeraden.\\
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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width=\textwidth,
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|
height=5cm,
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||||||
|
axis y line=none,
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||||||
|
axis x line=bottom,
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||||||
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xmin=-32,
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||||||
|
xmax=32,
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|
ymin=0,
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|
ymax=1,
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||||||
|
xtick={-32,-24,-16,-8,0,8,16,24,32},
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||||||
|
xlabel={Zahlenwert},
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ytick=\empty,
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|
]
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||||||
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|
% Alle darstellbaren positiven Werte
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\addplot[
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only marks,
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|
mark=|,
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||||||
|
]
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|
coordinates {
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||||||
|
% Positive Werte
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(0.125,0) (0.1328125,0) (0.140625,0) (0.1484375,0)
|
||||||
|
(0.15625,0) (0.1640625,0) (0.171875,0) (0.1796875,0)
|
||||||
|
(0.1875,0) (0.1953125,0) (0.203125,0) (0.2109375,0)
|
||||||
|
(0.21875,0) (0.2265625,0) (0.234375,0) (0.2421875,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(0.25,0) (0.265625,0) (0.28125,0) (0.296875,0)
|
||||||
|
(0.3125,0) (0.328125,0) (0.34375,0) (0.359375,0)
|
||||||
|
(0.375,0) (0.390625,0) (0.40625,0) (0.421875,0)
|
||||||
|
(0.4375,0) (0.453125,0) (0.46875,0) (0.484375,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(0.5,0) (0.53125,0) (0.5625,0) (0.59375,0)
|
||||||
|
(0.625,0) (0.65625,0) (0.6875,0) (0.71875,0)
|
||||||
|
(0.75,0) (0.78125,0) (0.8125,0) (0.84375,0)
|
||||||
|
(0.875,0) (0.90625,0) (0.9375,0) (0.96875,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(1.0,0) (1.0625,0) (1.125,0) (1.1875,0)
|
||||||
|
(1.25,0) (1.3125,0) (1.375,0) (1.4375,0)
|
||||||
|
(1.5,0) (1.5625,0) (1.625,0) (1.6875,0)
|
||||||
|
(1.75,0) (1.8125,0) (1.875,0) (1.9375,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(2.0,0) (2.125,0) (2.25,0) (2.375,0)
|
||||||
|
(2.5,0) (2.625,0) (2.75,0) (2.875,0)
|
||||||
|
(3.0,0) (3.125,0) (3.25,0) (3.375,0)
|
||||||
|
(3.5,0) (3.625,0) (3.75,0) (3.875,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(4.0,0) (4.25,0) (4.5,0) (4.75,0)
|
||||||
|
(5.0,0) (5.25,0) (5.5,0) (5.75,0)
|
||||||
|
(6.0,0) (6.25,0) (6.5,0) (6.75,0)
|
||||||
|
(7.0,0) (7.25,0) (7.5,0) (7.75,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(8.0,0) (8.5,0) (9.0,0) (9.5,0)
|
||||||
|
(10.0,0) (10.5,0) (11.0,0) (11.5,0)
|
||||||
|
(12.0,0) (12.5,0) (13.0,0) (13.5,0)
|
||||||
|
(14.0,0) (14.5,0) (15.0,0) (15.5,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(16.0,0) (17.0,0) (18.0,0) (19.0,0)
|
||||||
|
(20.0,0) (21.0,0) (22.0,0) (23.0,0)
|
||||||
|
(24.0,0) (25.0,0) (26.0,0) (27.0,0)
|
||||||
|
(28.0,0) (29.0,0) (30.0,0) (31.0,0)
|
||||||
|
};
|
||||||
|
|
||||||
|
% Negative Spiegelung
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|
\addplot[
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|
only marks,
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||||||
|
mark=|,
|
||||||
|
]
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||||||
|
coordinates {
|
||||||
|
(-0.125,0) (-0.1328125,0) (-0.140625,0) (-0.1484375,0)
|
||||||
|
(-0.15625,0) (-0.1640625,0) (-0.171875,0) (-0.1796875,0)
|
||||||
|
(-0.1875,0) (-0.1953125,0) (-0.203125,0) (-0.2109375,0)
|
||||||
|
(-0.21875,0) (-0.2265625,0) (-0.234375,0) (-0.2421875,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(-0.25,0) (-0.265625,0) (-0.28125,0) (-0.296875,0)
|
||||||
|
(-0.3125,0) (-0.328125,0) (-0.34375,0) (-0.359375,0)
|
||||||
|
(-0.375,0) (-0.390625,0) (-0.40625,0) (-0.421875,0)
|
||||||
|
(-0.4375,0) (-0.453125,0) (-0.46875,0) (-0.484375,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(-0.5,0) (-0.53125,0) (-0.5625,0) (-0.59375,0)
|
||||||
|
(-0.625,0) (-0.65625,0) (-0.6875,0) (-0.71875,0)
|
||||||
|
(-0.75,0) (-0.78125,0) (-0.8125,0) (-0.84375,0)
|
||||||
|
(-0.875,0) (-0.90625,0) (-0.9375,0) (-0.96875,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(-1.0,0) (-1.0625,0) (-1.125,0) (-1.1875,0)
|
||||||
|
(-1.25,0) (-1.3125,0) (-1.375,0) (-1.4375,0)
|
||||||
|
(-1.5,0) (-1.5625,0) (-1.625,0) (-1.6875,0)
|
||||||
|
(-1.75,0) (-1.8125,0) (-1.875,0) (-1.9375,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(-2.0,0) (-2.125,0) (-2.25,0) (-2.375,0)
|
||||||
|
(-2.5,0) (-2.625,0) (-2.75,0) (-2.875,0)
|
||||||
|
(-3.0,0) (-3.125,0) (-3.25,0) (-3.375,0)
|
||||||
|
(-3.5,0) (-3.625,0) (-3.75,0) (-3.875,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(-4.0,0) (-4.25,0) (-4.5,0) (-4.75,0)
|
||||||
|
(-5.0,0) (-5.25,0) (-5.5,0) (-5.75,0)
|
||||||
|
(-6.0,0) (-6.25,0) (-6.5,0) (-6.75,0)
|
||||||
|
(-7.0,0) (-7.25,0) (-7.5,0) (-7.75,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(-8.0,0) (-8.5,0) (-9.0,0) (-9.5,0)
|
||||||
|
(-10.0,0) (-10.5,0) (-11.0,0) (-11.5,0)
|
||||||
|
(-12.0,0) (-12.5,0) (-13.0,0) (-13.5,0)
|
||||||
|
(-14.0,0) (-14.5,0) (-15.0,0) (-15.5,0)
|
||||||
|
|
||||||
|
(-16.0,0) (-17.0,0) (-18.0,0) (-19.0,0)
|
||||||
|
(-20.0,0) (-21.0,0) (-22.0,0) (-23.0,0)
|
||||||
|
(-24.0,0) (-25.0,0) (-26.0,0) (-27.0,0)
|
||||||
|
(-28.0,0) (-29.0,0) (-30.0,0) (-31.0,0)
|
||||||
|
};
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{figure}
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|
\item Bestimmen sie den maximalen absoluten und relativen Rundungsfehler in [$x_{minabs}$, $x_{max}$].\\
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|
Ab $\pm 16$ kann man die Zahlen nur in 1-er Schritten erreichen. Der größte absolute Fehler liegt also bei 16,5 mit einem Abstand von 0,5 zu den nächsten maschinell erreichbaren Zahlen: $x_{max}=0,5$.(maximaler absoluter Rundungsfehler)\\
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||||||
|
Der relative Rundungsfehler zwischen 16 und 16,5 von 0,5 berechnet sich zu $\frac{16,5-16}{16,5}=\frac{1}{33}$, alle relativen Rundungsfehler bei betraglich größeren Zahlen wird anteilig kleiner, wir vergleichen also mit dem relativen Rundungsfehler zwischen den beiden kleinsten positiven Werten, die berechnen werden können $\frac{\frac{34}{256}-\frac{33}{256}}{\frac{33}{256}}=\frac{1}{33}$.\\
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||||||
|
Den relativen Rundungsfehler zwischen 0,125 und -0,125 können wir nicht berechnen, da wir hierbei durch 0 teilen müssten und das nicht zulässig ist.\\
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||||||
|
Der maximale relative Rundungsfehler liegt somit bei $\frac{1}{33}$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
217
annuma/assignment6/main.tex
Normal file
217
annuma/assignment6/main.tex
Normal file
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|
@ -0,0 +1,217 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper]{article}
|
||||||
|
%\usepackage[singlespacing]{setspace}
|
||||||
|
\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
|
||||||
|
%\usepackage[doublespacing]{setspace}
|
||||||
|
\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
|
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|
\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
|
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|
\usepackage{tabularx}
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|
\usepackage{colortbl}
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|
\usepackage{listings}
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|
\usepackage{amsmath}
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|
\usepackage{amssymb}
|
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|
\usepackage{amsthm}
|
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|
\usepackage{enumerate}
|
||||||
|
\usepackage{enumitem}
|
||||||
|
\usepackage{subcaption}
|
||||||
|
\usepackage{float}
|
||||||
|
\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
|
||||||
|
\usepackage{tikz-qtree}
|
||||||
|
\usepackage{tikz}
|
||||||
|
\usepackage{pgfplots}
|
||||||
|
\pgfplotsset{compat=1.17}
|
||||||
|
\usepackage{forest}
|
||||||
|
\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
|
||||||
|
\pagestyle{fancy}
|
||||||
|
\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
|
||||||
|
\renewcommand{\headrule}{
|
||||||
|
\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
\usepackage{amsmath}
|
||||||
|
\pagestyle{fancy}
|
||||||
|
\usepackage{diagbox}
|
||||||
|
\usepackage{xfrac}
|
||||||
|
|
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|
\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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|
\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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bottom=3cm, % Bottom margin
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left=2.5cm, % Left margin
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right=2.5cm, % Right margin
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|
headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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||||||
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%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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|
\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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|
\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 6}}
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|
\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{6}
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\subsection{Rechenaufgabe}
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Bestimmen Sie die Grenzwerte und tragen Sie diese in die Kästchen ein. Im Falle der Nicht-Existenz schreiben Sie NaN in das entsprechende Kästchen. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an.\\\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\lim\limits_{x_\to 0}\frac{x-3}{x-4}=\frac{3}{4}\]
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}}\vspace*{5mm}
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Seien $p,q \in \mathbb{N}$\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\lim\limits_{x_\to 1}\frac{x^p-1}{x^q-1}=\frac{p}{q}\]
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}}\\\\
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\textit{Hinweis:} Verwenden Sie die geometrische Summenformel.\\
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\textcolor{gray}{$\frac{x^{p-1}}{x^{q-1}} = \frac{x^{p-1} + x^{p-2} + ... + x^{2} + x^{1} + 1}{x^{q-1} + x^{q-2} + ... + x^{2} + x^{1} + 1} = \frac{\sum\limits_{k = 0}^{p - 1} x^k}{\sum\limits_{k = 0}^{q - 1} x^k} \rightarrow \frac{\lim\limits_{x \rightarrow 1} \sum\limits_{k = 0}^{p - 1} x^k}{\lim\limits_{x \rightarrow 1} \sum\limits_{k = 0}^{q - 1} x^k} = \frac{p}{q}$}\\\\
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Sei $\lfloor x\rfloor$ die größte Zahl, welche kleiner als $x$ ist.\\
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\lim\limits_{x_\downarrow 1}(x-\lfloor x\rfloor)=0\]
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}}\vspace*{5mm}
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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\[\lim\limits_{x_\uparrow 1}(x-\lfloor x\rfloor)=1\]
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}}\vspace*{5mm}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.\\
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\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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\item Für die Menge $D= \{1/n+(-1)^n|n\in \mathbb{N}\}\cup\{(-1)^m|m\in\mathbb{N}\}$ gilt $D= \overline{D}$.
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\begin{flushright}
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wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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\end{flushright}
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|
\item Für die Menge $D= \{1/n+ (-1)^m|m,n\in\mathbb{N}\}$ gilt $D= \overline{D}$.
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\begin{flushright}
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||||||
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wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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|
\end{flushright}
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\item Die Funktion $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$\\
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\hspace*{4,57cm}\(f(x)=\begin{cases}
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||||||
|
x^2, & \hspace*{0,65cm}x\leq 0,\\
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||||||
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0, & 0\leq x \leq 1,\\
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||||||
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x-1, & 1\leq x
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||||||
|
\end{cases}\)\\
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||||||
|
ist stetig in $x=0$.
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|
\begin{flushright}
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||||||
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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||||||
|
\end{flushright}
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||||||
|
\newpage
|
||||||
|
\item Die Funktion $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$\\
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||||||
|
\hspace*{4,57cm}\(f(x)=\begin{cases}
|
||||||
|
x^2, & \hspace*{0,65cm}x\leq 0,\\
|
||||||
|
0, & 0\leq x \leq 1,\\
|
||||||
|
x-1, & 1\leq x
|
||||||
|
\end{cases}\)\\
|
||||||
|
ist stetig in $x=1$.
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||||||
|
\begin{flushright}
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||||||
|
wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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||||||
|
\end{flushright}
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||||||
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\end{enumerate}
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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\item Zeigen Sie, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x^3$ stetig ist in $x_0 \in\mathbb{R}$. Verwenden Sie hierfür das Folgenkriterium.\\
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Wir verwenden das Folgenkriterium für Stetigkeit das wie folgt definiert ist:
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Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ist stetig in \( x_0 \), wenn für jede Folge \( (x_n) \) mit \( \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \) gilt:
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\[
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\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0).
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\]
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Sei \( f(x) = 3x^3 \) und \( x_n \to x_0 \). Da Potenzfunktionen stetig sind, folgt:
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\[
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\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 3x_n^3 = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} x_n^3 = 3x_0^3 = f(x_0).
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\]
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Daraus folgt, dass die Funktion \( f(x) = 3x^3 \) stetig ist in jedem \( x_0 \in \mathbb{R} \).
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\item Zeigen Sie, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \setminus \-2\}\to\mathbb{R}, f(x) =\frac{x}{2+x}$ stetig ist in $x_0 = 2$. Verwenden Sie hierfür das $\epsilon$-$\delta$-Kriterium.\\
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Wir zeigen die Stetigkeit mittels des \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriteriums.
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Zunächst berechnen wir:
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\[
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f(2) = \frac{2^2 + 2}{2 + 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
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\]
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Wir betrachten:
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\[
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\left| f(x) - f(2) \right| = \left| \frac{x^2 + x}{x + 2} - \frac{3}{2} \right|.
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\]
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Rechne die Differenz aus:
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\[
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\left| \frac{2(x^2 + x) - 3(x + 2)}{2(x + 2)} \right| = \left| \frac{2x^2 + 2x - 3x - 6}{2(x + 2)} \right| = \left| \frac{2x^2 - x - 6}{2(x + 2)} \right|.
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\]
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Zerlegung des Zählers:
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\[
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2x^2 - x - 6 = (2x + 3)(x - 2),
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\]
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daher:
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\[
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\left| f(x) - f(2) \right| = \left| \frac{(2x + 3)(x - 2)}{2(x + 2)} \right|.
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\]
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Für \( x \in (1, 3) \) gilt:
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\[
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|2x + 3| \leq 9, \quad |x + 2| \geq 3 \Rightarrow \left| f(x) - f(2) \right| \leq \frac{9}{6} |x - 2| = \frac{3}{2} |x - 2|.
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\]
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Damit wählen wir:
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\[
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\delta = \frac{2}{3} \varepsilon \Rightarrow |x - 2| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(2)| < \varepsilon.
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\]
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Somit gilt, dass \( f(x) = \frac{x^2 + x}{x + 2} \) stetig ist in \( x_0 = 2 \).\\
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\item Entscheiden Sie (mit Begründung) für welche $\alpha\in[0,1]$ die Funktion $f_\alpha: [0,1] \to\mathbb{R}, f_\alpha(x) = x_\alpha$ Lipschitz-stetig ist.\\
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|
Definition von Lipschitz Stetigkeit: Eine Funktion \( f: [0, 1] \to \mathbb{R} \) ist es, wenn ein \( L > 0 \) existiert, sodass für alle \( x, y \in [0,1] \) gilt:
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\[
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|f(x) - f(y)| \leq L |x - y|.
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\]
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\textbf{Fall \( \alpha = 0 \):}
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\[
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f_0(x) = 1 \Rightarrow \text{konstant} \Rightarrow \text{Lipschitz-stetig mit } L = 0.
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\]
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\textbf{Fall \( \alpha = 1 \):}
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\[
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f_1(x) = x \Rightarrow \text{linear} \Rightarrow \text{Lipschitz mit } L = 1.
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\]
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\textbf{Fall \( \alpha \in (0,1) \):}
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Dann ist:
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\[
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f'_\alpha(x) = \alpha x^{\alpha - 1}.
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\]
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Da \( \alpha - 1 < 0 \), wird \( f'_\alpha(x) \to \infty \) für \( x \to 0^+ \), also ist die Steigung nahe 0 nicht beschränkt.
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Daraus folgt: für \( \alpha \in (0,1) \) ist \( f_\alpha \) \emph{nicht} Lipschitz-stetig auf \([0,1]\).
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\end{enumerate}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Ein Kreditinstitut vergibt monatlich Zinsen auf ein gegebenes Startkapital $S \in\mathbb{R}_+$. Im ersten Monat werden 1\% Zinsen auf das Startkapital $S= G(0)$ ausgezahlt, im zweiten Monat 2\% auf das Gesamtkapital $G(1) \in \mathbb{R}$ nach einem Monat, usw. bis im $n$-ten Monat $n$\% Zinsen auf das Gesamtkapital $G(n-1)$ nach $(n-1)$ Monaten ausgezahlt wird.
|
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|
\begin{enumerate}[label=({\alph*})]
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|
\item Berechnen für $S = 1$, wie hoch das Gesamtkapital $G(12)$ nach einem Jahr ist.\\
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\(\prod\limits^{12}_{i=1} x \cdot (1+\frac{i}{100})=2,1157044115\approx 2,12\)
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|
\item Berechnen Sie, wie hoch das Startkapital $S$ mindestens sein muss, sodass nach einem Jahr \[G(12) \geq 1000.\]\\
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||||||
|
Für $G(12)\geq 1000 $ können wir die Gegenrechnung $\frac{1000}{2,12}=471,69811321 \approx 471,7 $ verwenden. Wir müssen also mit einem Startkapital $S\geq 471,70 $ beginnen, um nach einem Jahr ein Kapital von $1000 $ zu erhalten.
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||||||
|
\item Berechnen Sie die Anzahl der Monate $n\in\mathbb{N}$, sodass das Gesamtkapital
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\[G(n) \geq 100\]
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bei einem Startkapital $S = 1$.\\
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Für $G(n)=100$ betrachten wir in Intervallen, we sich $G$ verändert.\\
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$G(12)\approx 2,12$\\
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$G(20)\approx 7,17$\\
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||||||
|
$G(30)\approx 69,29$\\
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|
$G(31)\approx 90,77$\\
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||||||
|
$G(32)\approx 119,82$\\
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||||||
|
Wir wissen also: $G(n)\geq 100 \,\, \forall\, n\geq 32$
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||||||
|
\end{enumerate}
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||||||
|
\textit{Hinweis:} Verwenden Sie das Prinzip der Intervallschachtelung.
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
163
annuma/assignment7/main.tex
Normal file
163
annuma/assignment7/main.tex
Normal file
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|
@ -0,0 +1,163 @@
|
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|
\documentclass[a4paper]{article}
|
||||||
|
%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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|
\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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|
%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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|
\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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|
\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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|
\usepackage{tabularx}
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|
\usepackage{colortbl}
|
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\usepackage{listings}
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|
\usepackage{amsmath}
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|
\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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|
\usepackage{enumerate}
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|
\usepackage{enumitem}
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|
\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.17}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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|
\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
|
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|
}
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|
\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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|
\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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|
basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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|
\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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|
paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
|
||||||
|
top=3cm, % Top margin
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||||||
|
bottom=3cm, % Bottom margin
|
||||||
|
left=2.5cm, % Left margin
|
||||||
|
right=2.5cm, % Right margin
|
||||||
|
headheight=25pt, % Header height
|
||||||
|
footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
|
||||||
|
headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
|
||||||
|
%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
|
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|
}
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||||||
|
\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
|
||||||
|
\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 7}}
|
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|
\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
|
||||||
|
\fancyheadoffset[R]{0cm}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\setcounter{section}{7}
|
||||||
|
\subsection{Multiple Choice}
|
||||||
|
Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreffende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.
|
||||||
|
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
|
||||||
|
\item Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^n + x^m$ für $n, m \in \mathbb{N}_0$. Dann ist
|
||||||
|
\[f \in O\left(x^{max\{n, m\}}\right) \quad \text{für } x \rightarrow \infty\]
|
||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
|
||||||
|
\end{flushright}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{Bei Addition zweier Terme, kann der Term kleinerer Laufzeitklasse vernachlässigt werden. Somit zählt nur der größere. die Funktion $max\{n, m\}$ wählt den größeren der beiden Werte und somit die größere der beiden Laufzeitklassen}
|
||||||
|
|
||||||
|
\item Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^3 - x$ ist injektiv
|
||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
|
||||||
|
\end{flushright}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{Die Injektivität ist erfüllt, wenn eine Funktion nie für zwei oder mehr Eingabewerte den selben Funktionswert liefert. $x^3 - x$ erfüllt diese Aussage allerdings nicht. (Im grob abgeschätzten Interval $-2 \leq x \leq 2$ gibt es doppelte Funktionswerte)}
|
||||||
|
|
||||||
|
\item Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^3 - x$ ist surjektiv
|
||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
|
||||||
|
\end{flushright}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{Die Surjektivität ist erfüllt, wenn eine Funktion alle Werte in $\mathbb{R}$ erreichen kann}
|
||||||
|
|
||||||
|
\item Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$
|
||||||
|
\[f(x) = \begin{cases}
|
||||||
|
\frac{1}{x}, & x \neq 0,\\
|
||||||
|
0, & x = 0
|
||||||
|
\end{cases}\]
|
||||||
|
ist bijektiv
|
||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\boxtimes$ falsch $\square\quad$
|
||||||
|
\end{flushright}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{Die Funktion ist Surjektiv, da der Fall $\frac{1}{x}$ das Bild $\mathbb{R}/\{0\}$ abdeckt und der Fall $0$ die Bildmenge $\{0\}$. Somit gilt $\mathbb{R}/\{0\} \,\cap \,\{0\} = \mathbb{R}$. Die Bijektivität ist gegeben, da keine 2 Eingabewerte den gleichen Funktionswert erreichen.}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\clearpage
|
||||||
|
\subsection{Rechenaufgabe}
|
||||||
|
Für die folgenden Funktionen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ bestimmen Sie das minimale $n \in \mathbb{N}_0$, sodass
|
||||||
|
\[f \in O\left(x^n\right) \quad \text{für} \rightarrow \infty\]
|
||||||
|
Falls $f \notin O\left(x^n\right)$ für alle $n \in N_0$, tragen Sie NaN in das entrsprechende Kästchen. Bitte geben SIe nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen +0.5 Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.\\
|
||||||
|
\(f(x) = \sum\limits^7_{k=1} \frac{x^k}{k!}\)\\\\
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[f \in O(x^n) \quad \text{für} \, n = 7\]
|
||||||
|
}}\vspace*{2mm}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{Die höchste Potenz ist $x^7$, also ist das asymptotische Verhalten $O(x^7)$.}\\
|
||||||
|
|
||||||
|
\(f(x) = e^x\)\\\\
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[f \in O(x^n) \quad \text{für} \, n = \text{NaN}\]
|
||||||
|
}}\vspace*{2mm}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{$e^x$ wächst schneller als jede Potenz, also ist $f \notin O(x^n)$ für endliches $n$.}\\
|
||||||
|
|
||||||
|
\(f(x) = \text{sin}(x)\)\\\\
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[f \in O(x^n) \quad \text{für} \, n = 0\]
|
||||||
|
}}\vspace*{2mm}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{$\sin(x)$ ist beschränkt, also ist $f \in O(1) = O(x^0)$.}\\
|
||||||
|
|
||||||
|
\(f(x) = (2 \, \text{ln} \, x - \text{ln}(x^2 + 2))\)\\\\
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[f \in O(x^n) \quad \text{für} \, n = 0\]
|
||||||
|
}}\vspace*{2mm}
|
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\textcolor{gray}{Für große $x$ ist $f(x) \approx 2\ln x - 2\ln x = 0$, also beschränkt $\Rightarrow O(1) = O(x^0)$.}
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\clearpage
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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\begin{enumerate}
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\item $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt, d.h., es gibt ein $a \in [0, 1]$ mit $f(a) = a$.
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Wir definieren $g(x) := f(x) - x$. $g$ ist stetig, da $f$ stetig ist.
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\begin{itemize}
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\item $g(0) = f(0) - 0 \geq 0$
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\item $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$
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\end{itemize}
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Aus der Vorlesung kennen wir den Zwischenwertsatz, welcher besagt, dass $a \in [0,1]$ mit $g(a) = 0 \Rightarrow f(a) = a$ existiert.
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\item Geben Sie ein Beispiel einer stetigen Funktion $f: (0, 1) \rightarrow (0,1 )$ an, die keinen Fixpunkt besitzt.
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Beispiel: $f(x) = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$
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Diese Funktion ist auf $(0,1)$ stetig und für alle $x$ gilt: $f(x) > x$.
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Daher existiert kein $x$ mit $f(x) = x$.
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\end{enumerate}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Sei $D \subseteq \mathbb{R}, f: D \rightarrow$. Beweisen oder wiederlegen Sie
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Ist $f$ Lipschitz-stetig, so ist $f$ auch gleichmäßig stetig.
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\textbf{Wahr}.\\
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Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit, da $|f(x) - f(y)| \leq L |x - y|$ für alle $x,y \Rightarrow \varepsilon$-$\delta$-Kriterium gleichmäßig erfüllt.
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\item Ist $f$ gleichmäßig stetig, so ist $f$ auch Lipschitz-stetig.
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\textbf{Falsch.}\\
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\textit{Gegenbeispiel}: $f(x) = \sqrt{x}$ auf $[0,1]$ ist gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig (Ableitung wird unbeschränkt nahe $x = 0$).
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\item Ist $f$ stetig, so ist $f$ auch gleichmäßig stetig.
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\textbf{Falsch.}\\
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\textit{Gegenbeispiel}: $f(x) = \tan(x)$ auf $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig wegen Unbeschränktheit der Ableitung nahe den Randpunkten.
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\end{enumerate}
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\end{document}
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206
annuma/assignment8/main.tex
Normal file
206
annuma/assignment8/main.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,206 @@
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\documentclass[a4paper]{article}
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%\usepackage[singlespacing]{setspace}
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\usepackage[onehalfspacing]{setspace}
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%\usepackage[doublespacing]{setspace}
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\usepackage{geometry} % Required for adjusting page dimensions and margins
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\usepackage{amsmath,amsfonts,stmaryrd,amssymb,mathtools,dsfont} % Math packages
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\usepackage{tabularx}
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\usepackage{colortbl}
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\usepackage{listings}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{float}
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\usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
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\usepackage{tikz-qtree}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat=1.17}
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\usepackage{forest}
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\usepackage{changepage,titlesec,fancyhdr} % For styling Header and Titles
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\pagestyle{fancy}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} % Linienbreite anpassen, falls gewünscht
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\renewcommand{\headrule}{
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\makebox[\textwidth]{\rule{1.0\textwidth}{0.5pt}}
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}
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\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage{xfrac}
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\usepackage{enumerate} % Custom item numbers for enumerations
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\usepackage[ruled]{algorithm2e} % Algorithms
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} % Allows defining custom boxed/framed environments
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\usepackage{listings} % File listings, with syntax highlighting
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\lstset{
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basicstyle=\ttfamily, % Typeset listings in monospace font
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}
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\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
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\geometry{
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paper=a4paper, % Paper size, change to letterpaper for US letter size
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top=3cm, % Top margin
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||||||
|
bottom=3cm, % Bottom margin
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||||||
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left=2.5cm, % Left margin
|
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|
right=2.5cm, % Right margin
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headheight=25pt, % Header height
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footskip=1.5cm, % Space from the bottom margin to the baseline of the footer
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|
headsep=1cm, % Space from the top margin to the baseline of the header
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|
%showframe, % Uncomment to show how the type block is set on the page
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}
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\lhead{Analysis und Numerik\\Sommersemester 2025}
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\chead{\bfseries{\vspace{0.5\baselineskip}Übungsblatt 8}}
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\rhead{Lienkamp, 8128180\\Werner, 7987847}
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|
\fancyheadoffset[R]{0cm}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{8}
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\subsection{Votieraufgabe}
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Eine Geradengleichung $T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ist im Allgemeinen gegeben durch
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\[
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T(x) = ax + b
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\]
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mit Steigung $a \in \mathbb{R}$ und $y$-Achsenabschnitt $b$. Die Tangente einer differenzierbaren FUnktion $f$ an einer Stelle $x_0$ ist die Gerade, welche $f$ mit Steigung $f'(x_0)$ in $x_0$ berührt. Berechnen Sie die Tangenten der folgenden Funktionen in einem beliebigen Punkt $x_0 \in \mathbb{R}$:
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $f(x) = x^3$
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\item $f(x) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$
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\item $f(x) = x^x$
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\end{enumerate}
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\textit{Hinweis zu (c)}: Umschreiben mittels Exponentialfunktion
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\subsection{Schriftliche Aufgabe}
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Gegeben sei die Sigmoid-Funktion:
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\[
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\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
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||||||
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\]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Bestimmen Sie die Ableitung $\sigma'(x)$.\\\\
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\(\Rightarrow\sigma(x) = (1 + e^{-x})^{-1} \rightarrow\) Kettenregel\\
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Aus der Vorlsung wissen wir:\\
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Die Kettenregel ist wie folgt definiert: sei
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\[
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f(x) = g(h(x)) \rightarrow f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
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\]
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||||||
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Somit mit den Teilfunktionen
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\[
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||||||
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g(x) = x^{-1} \text{und} h(x) = (1 + e^{-x}) \text{dann} \sigma'(x) = -1 \cdot (1 + e^{-x})^{-2} \cdot (-e^{-x})
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||||||
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\]
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||||||
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\[
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||||||
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\Rightarrow \sigma'(x) = \frac{(-e^{-x})}{-1 \cdot (1 + e^{-x})^{2}}
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\]
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||||||
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\item Zeigen Sie, dass $\sigma$ der folgenden Gleichug genügt:
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\[
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||||||
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\sigma'(x) = \sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x)) \quad \text{für alle} x \in \mathbb{R}.
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\]
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||||||
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Wir leiten $\sigma(x)$ mit der Kettenregel ab. Schreibe zuerst:
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\[
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\sigma(x) = (1 + e^{-x})^{-1}.
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\]
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||||||
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Dann gilt:
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||||||
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\[
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||||||
|
\sigma'(x) = -1 \cdot (1 + e^{-x})^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + e^{-x}) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}.
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||||||
|
\]
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||||||
|
Andererseits gilt auch:
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||||||
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\[
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||||||
|
\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \quad \Rightarrow \quad 1 - \sigma(x) = \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}.
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||||||
|
\]
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||||||
|
\[
|
||||||
|
\sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x)) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \cdot \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}.
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||||||
|
\]
|
||||||
|
Also gilt:
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||||||
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\[
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||||||
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\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x)) \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R}.
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||||||
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\]
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||||||
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\item Zeigen Sie, dass \(\quad 0 \leq \sigma(x) \leq 1 \quad \text{für alle} \quad x \in \mathbb{R}\)
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Da \( e^{-x} > 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), gilt:
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\[
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||||||
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1 + e^{-x} > 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{1 + e^{-x}} < 1.
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\]
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||||||
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Andererseits ist der Nenner stets positiv:
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||||||
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\[
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||||||
|
1 + e^{-x} > 0 \quad \Rightarrow \quad \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} > 0.
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||||||
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\]
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||||||
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Somit:
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\[
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0 < \sigma(x) < 1 \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R}.
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\]
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||||||
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Da der Grenzwert von \( \sigma(x) \) bei \( x \to -\infty \) gegen \( 0 \) und bei \( x \to \infty \) gegen \( 1 \) geht, ergibt sich:
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\[
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||||||
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0 \leq \sigma(x) \leq 1 \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R}.
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\]
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\end{enumerate}
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\subsection{Multiple Choice}
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Kreuzen Sie bei den folgenden Fragen jeweils die zutreffende Antwort an. Korrekte Kreuze bringen +0.5 Punkte. Falsche Kreuze -0.5 Punkte. Sie bekommen auf diese Aufgabe mindestens 0 Punkte.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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||||||
|
\item Jede Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$ für alle $x,y \in \mathbb{R}, x\neq y$, besitzt einen Fixpunkt.
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\begin{flushright}
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||||||
|
wahr $\square\quad$ falsch $\boxtimes$
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||||||
|
\end{flushright}
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\item Ist eine Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ differenzierbar, so ist sie auch Lipschitz-stetig.
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||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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||||||
|
\end{flushright}
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||||||
|
\item Die Funktion $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$
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\[f(x) = \begin{cases}
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||||||
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\sin \left(\frac{1}{x}\right), & x\neq 0\\
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||||||
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0, & x=0\\
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||||||
|
\end{cases}\] ist stetig.
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||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
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||||||
|
\end{flushright}
|
||||||
|
\item Die Funktion $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$
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||||||
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\[f(x)=\begin{cases}
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||||||
|
x^2, & x\leq 0\\
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||||||
|
0, & 0\leq x\leq 1\\
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||||||
|
x-1, & 1\leq\\
|
||||||
|
\end{cases}\]
|
||||||
|
ist differenzierbar.
|
||||||
|
\begin{flushright}
|
||||||
|
wahr $\boxtimes\quad$ falsch $\square$
|
||||||
|
\end{flushright}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\subsection{Rechenaufgabe}
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||||||
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Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit: Bestimmen Sie jeweils das maximale $n \in \mathbb{N}_0 \cup\{\infty\}$, sodass die gegebene Funktion n-mal differenzierbar ist und tragen Sie diese in das entsprechende Kästchen ein. Für beliebig oft differenzierbare Funktionen ist $n = \infty$, ist eine Funktion in mindestens einem $x \in \mathbb{R}$ nicht differenzierbar ist $n = 0$. Bitte geben Sie nur die Endergebnisse an. Korrekte Lösungen bringen $+0.5$ Punkte, falsche Lösungen 0 Punkte.\\\\
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||||||
|
\(f(x) = \left| x \right|^3\)\\\\
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||||||
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\fbox{\parbox{\linewidth}{
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||||||
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\[f \text{ ist n} = 3\text{-mal differenzierbar}\]
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||||||
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}}\vspace*{2mm}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{kritische Stelle x = 0 $\rightarrow 3x^2 \rightarrow 6x \rightarrow 6$}\\\\
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\(f(x) =
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||||||
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\begin{cases}
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||||||
|
1, & x \geq 0 \\
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||||||
|
0, & x < 0
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
\)\\\\
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[f \text{ ist n} = \text{0-mal differenzierbar}\]
|
||||||
|
}}\vspace*{2mm}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{Ist nicht stetig, kann also auch nicht differenziert werden.}\\\\
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||||||
|
\(f(x) =
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
x^2 \sin(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\
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||||||
|
1 - e^{1 - x}, & x = 0
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
\)\\\\
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[f \text{ ist n} = 0\text{-mal differenzierbar}\]
|
||||||
|
}}\vspace*{2mm}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{Ableitungen: $x^2 \cdot \sin(\frac{1}{x}) \rightarrow 2x \cdot \sin(\frac{1}{x}) -\cos(\frac{1}{x}) \rightarrow ...$ Die Trigonometrische Funktion wird nie verschwinden.\\Ebenso kann $1-e^{1 - x} \rightarrow e^{1 - x} \rightarrow -e^{1 - x}$. Ist alles aber eh irrelevant weil der Fall nur für $x = 0$ ist und $1 - e^{1 - 1}$ ist dann nicht mehr stetig.}\\\\
|
||||||
|
\(f(x) =
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
\ln(x), & x \geq 1 \\
|
||||||
|
1 - e^{1 - x}, & x < 1
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
\)\\\\
|
||||||
|
\fbox{\parbox{\linewidth}{
|
||||||
|
\[f \text{ ist n} = 2\text{-mal differenzierbar}\]
|
||||||
|
}}\vspace*{2mm}
|
||||||
|
\textcolor{gray}{3. Ableitung nicht mehr stetig}\\
|
||||||
|
\end{document}
|
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